Frustration and disorder in discrete lattice models
Résumé
PART I: DISORDER The effect of quenched impurities on systems which undergo first-order phase transitions is studied within the framework of the q-state Potts model. For large q a mapping to the random field Ising model is introduced which provides a simple physical explanation of the absence of any latent heat in two dimensions, and suggests that in higher dimensions such systems should exhibit a tricritical point with a correlation length exponent related to the exponents of the random field model by \nu = \nu_RF/(2-\alpha_RF-\beta_RF). A phase diagram unifying pure, percolative and non-trivial random behaviour is proposed. In two dimensions we analyze the model using finite-size scaling and conformal invariance, and find a continuous transition with a magnetic exponent \beta/\nu which varies continuously with q, and a weakly varying correlation length exponent \nu ~ 1. For q>4 the first-order transitions of the pure model are softened due to the impurities, and the resulting universality class is different from that of the pure Ising model. We find strong evidence for multiscaling of the correlation functions, as expected for such random systems. PART II: FRUSTRATION Exact results for conformational statistics of compact polymers are derived from the two-flavour fully packed loop model on the square lattice. This loop model exhibits a two-dimensional manifold of critical fixed points each one characterised by an infinite set of geometrical scaling dimensions. We calculate these dimensions exactly by mapping the loop model to an interface model whose scaling limit is described by a Liouville field theory. The formulae for the central charge and the first few scaling dimensions are compared to numerical transfer matrix results and excellent agreement is found. Compact polymers are identified with a particular point in the phase diagram of the loop model, and the non-mean field value of the conformational exponent \gamma = 117/112 is calculated for the first time. We also present the very precise numerical estimate \kappa = 1.472801(10) for the connective constant. Interacting compact polymers are described by a line of fixed points along which \gamma and \kappa vary continuously. Our identification of compact polymers with a critical model has bearings on the cooperativity of protein folding thermodynamics. Namely, in the large chain limit, the absence of an energy gap separating the denatured states from the native (compact) ones implies that homopolymer collapse is a one-state process. We comment on the prospects of modeling specific sequence (amino acid) information through the imposition of quenched disorder.
(1) Modèle de Potts avec couplages aléatoires : Les transitions de phase en présence de désordre sont moins bien comprises que celles des systèmes purs. Afin de résoudre une controverse dans la littérature, nous étudions l'effet du désordre gelé dans les systèmes qui subissent une transition de phase du premier ordre, dans le contexte du modèle de Potts à q états. Pour q grand, une transformation au modèle d'Ising en champ aléatoire est introduite. Cette transformation donne une simple explication physique de l'absence de chaleur latente en deux dimensions et elle suggère l'existence d'un point tricritique en dimension plus élevée, avec un exposant de corrélation lié à celui du modèle en champ aléatoire. Un diagramme de phase unifiant les comportements pur, percolatif et aléatoire est proposé. En deux dimensions nous analysons le modèle avec l'aide de la théorie conforme des champs et nous trouvons une transition continue avec un exposant magnétique \beta/\nu qui varie continûment avec q, et un exposant de corrélation \nu ~ 1. Pour q > 4, la transition du premier ordre du modèle pur est rendue continue grace aux impuretés et la classe d'universalité est différente de celle du modèle d'Ising pur. Comme attendu, les fonctions de corrélation démontrent des lois d'échelle multiples. (2) Polymères compacts sur le réseau carré : Des résultats exacts pour la statistique conformationnelle des polymères compacts sont dérivés à partir d'un modèle de deux espèces de boucles vivant sur le réseau carré. Ce modèle de boucles possède une variété bidimensionnelle de points fixes critiques, chacun caractérisé par une infinité d'exposants critiques géométriques. Nous calculons ces exposants exactement en utilisant l'équivalence du modèle de boucles à un modèle d'interface multidimensionnel. Ce dernier est décrit, dans la limite continue, par une théorie de champs conforme du type Liouville. Les polymères compacts sont identifiés avec un point particulier dans le diagramme de phase, et la valeur de l'exposant conformationnel \gamma = 117/112 est supérieure à la prédiction de champ moyen, indiquant une répulsion entropique entre les deux extrémités de la chaîne. Des polymères compacts avec une interaction non locale sont décrits par une ligne de points fixes le long de laquelle \gamma varie continûment.