Fractal approximation of curves and surfaces - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2002

Fractal approximation of curves and surfaces

Approximation fractale de courbes et de surfaces

Résumé

Approximation of natural objects (curves, surfaces, or images) with fractal models is an important center of interest for research. The general inverse problem paradigm concerns many application fields, including information representation for image transmission or compression, 3D reconstruction for visualization or CAGD. A large variety of studies, using specific models or methods, have been proposed to address this inverse fractal problem. The most known of them is the fractal image compression method introduced by Jacquin. Generally speaking, these techniques lack of flexibility in term of control over the approximated shape. Furthermore, iteration space used is the visualisation space, R². Previous work achieved a general framework for fractal modeling: fractal free forms. This model allows user to define self-similar objects in a space of a higher dimension. We propose a resolution of the inverse problem base on this model and a non-linear regression algorithm. This versatile method allows the approximation of curves and surfaces, even rough or smooth, and also grey-level images. A hierachical extension of this model is introduced for modeling heterogeneous objects, for which characteristics are varying in space. Two algorithms are proposed for the associated approximation problem. The first one computes, given a grey-level image and a distortion criteria, the model that gives a uniform repartition of this distortion. The second one is a complete optimisation of the rate/distortion ratio, given a rate budget. Results show that this type of model is interesting for low rate compression.
L'approximation des objets naturels (courbes, surfaces ou images) par des formes fractales constitue aujourd'hui un important centre d'intérêt pour la recherche. Sous le nom générique de problème inverse, cette problématique intéresse en effet des domaines d'applications aussi divers que la représentation synthétique de l'information pour la transmission et la compression d'images, la reconstruction 3D pour la visualisation ou la CAO. Diverses études ont été menées pour répondre à ce problème inverse fractal. La plus connue est certainement la méthode dite de compression fractale d'images introduite par Jacquin. D'une manière générale, ces techniques existentes souffrent aujourd'hui d'un manque de souplesse en terme de contrôle sur la forme utilisée pour l'approximation. De plus, l'espace d'itération utilisé se limite à l'espace de visualisation, c'est à dire R². Des travaux antérieurs ont permis de dégager un modèle générique fractal : les formes fractales à pôles. Ce modèle, par l'intermédiaire d'une projection, permet de définir les auto-similarités d'un objet dans un espace de dimension supérieure. Nous proposons une résolution du problème inverse basée sur ce modèle et sur un algorithme de régression non-linéaire. Cette méthode générale permet d'approximer des courbes et des surfaces, aussi bien lisses que rugueuses, ainsi que des images en niveaux de gris. Une extension hiérarchique du modèle est introduite pour la modélisation d'objets hétérogènes dont les caractéristiques varient dans l'espace. Deux algorithmes sont proposés pour résoudre le problème d'approximation associé. Le premier calcule, à partir d'une image et d'un critère de distorsion, le modèle qui uniformise cette distorsion. Le deuxième décrit une méthode complète d'optimisation du codage du modèle en vue de comprimer les images à partir d'un critère de débit. Les résultats montrent l'avantage de ce type de modèle dans le domaine de la compression à faible débit.
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  • HAL Id : tel-00003908 , version 1

Citer

Eric Guérin. Fractal approximation of curves and surfaces. Graphics [cs.GR]. Université Claude Bernard - Lyon I, 2002. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00003908⟩
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