Special value of the adjoint L-function of a Hilbert modular form and arithmetic of the corresponding motive
Valeur critique de la fonction L adjointe d'une forme modulaire de Hilbert et arithmétique du motif correspondant
Résumé
The aim of this thesis is to extend some arithmetic results on elliptic modular forms to the case of Hilbert modular forms. Among these results let us mention the control of the image of the Galois representation modulo $p$ [Serre, Ribet], Hida's congruence criterion, and the freeness of the integral cohomology of the Hilbert modular variety over certain local components of the Hecke algebra and the Gorenstein property of these local algebras [Mazur, Faltings-Jordan]. As an application we relate, in the "minimal" level case, the "algebraic" $p$-part of the adjoint L function of a Hilbert modular newform evaluated at 1 to the cardinality of the corresponding Selmer group. We study the arithmetic of the Hilbert modular forms by studying their modulo $p$ Galois representations and our main tool is the action of the inertia groups at $p$. In order to control this action, we compute the Hodge-Tate (resp. Fontaine-Laffaille) weights of the $p$-adic (resp. modulo $p$) étale cohomology of the Hilbert modular variety. The cohomological part of our paper builds upon the construction of the arithmetic toroidal compactifications of the universal Hilbert-Blumenthal abelian variety (and of its fiber products) over the arithmetic toroidal compactifications of the Hilbert modular variety of level $\Gamma_1(c,n)$.
Le but de cette thèse est de généraliser un certain nombre de résultats arithmétiques connus pour les formes modulaires elliptiques au cas des formes modulaires de Hilbert. Parmi ces résultats citons le contrôle de l'image de la représentation galoisienne résiduelle [Serre, Ribet], le critère de congruence de Hida, ainsi que la liberté de la cohomologie entière de la variété modulaire de Hilbert sur certaines composantes locales de l'algèbre de Hecke et la propriété de Gorenstein de celles-ci [Mazur, Faltings-Jordan]. Dans le cas de niveau "minimal" ceci permet de relier la $p$-partie "algébrique" de la valeur en 1 de la fonction L adjointe d'une forme modulaire de Hilbert nouvelle au cardinal du groupe de Selmer correspondant. L'approche des propriétés arithmétiques des formes modulaires de Hilbert se fait à travers leurs représentations galoisiennes modulo $p$ et l'outil principal est l'action de l'inertie en $p$. Cette action est contrôlée par le calcul des poids de Hodge-Tate (resp. de Fontaine-Laffaille) de la cohomologie $p$-adique (resp. modulo $p$) de la variété modulaire de Hilbert. La partie cohomologique de ce travail repose sur la construction des compactifications toroïdales arithmétiques de la variété abélienne de Hilbert-Blumenthal universelle (et de ses produits fibrés), au-dessus des compactifications toroïdales arithmétiques de la variété modulaire de Hilbert en niveau $\Gamma_1(c,n)$.
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