Inegalites de Gagliardo-Nirenberg optimales sur les varietes riemanniennes - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2003

Inegalites de Gagliardo-Nirenberg optimales sur les varietes riemanniennes

Optimal Gagliardo-Nirenberg Inequalities on Riemannian Manifolds

Résumé

Sobolev spaces are inherent to the theory of PDEs. The embedding theorems of these spaces into the Lebesgue spaces gives the Sobolev inequalities. S. L. Sobolev introduced these notions in the 30s and they are now a fundamental tool in analysis. Some other mathematicians developed this topic.One may cite E. Gagliardo and L. Nirenberg in the 50s. The study of optimal Sobolev inequalities began with great problems in analysis such as the Yamabe problem. There exist different approaches. We are interested in two of them: the AB program and the BA program. The first one was studied by T. Aubin, O. Druet, E. Hebey and M. Vaugon. D. Bakry and M. Ledoux studied the second one in Markov semi-group theory. Sobolev inequalities are a sub-family of Gagliardo-Nirenberg inequalities. So it is natural to ask if an extension of the previous works is possible. First, a positive answer was given for Nash and Sobolev logarithmic inequalities. In this thesis, we adapt the AB program and the BA program to a larger sub-family of Gagliardo-Nirenberg inequalities including the Nash inequality.
Les espaces de Sobolev jouent un rôle central dans la théorie des équations aux dérivées partielles. Les théorèmes de plongement de ces espaces dans les espaces de Lebesgue se traduisent en inégalités dites de Sobolev. Elles sont devenues un outil fondamental en analyse. Ces notions ont été introduites par S. L. Sobolev à la fin des années~30. D'autres mathématiciens se sont intéressés à ce domaine. On peut notamment citer les travaux d'E. Gagliardo et L. Nirenberg dans les années~50. L'étude des inégalités de Sobolev optimales trouve ses origines dans de grands problèmes d'analyse tels que le problème de Yamabe. Il existe plusieurs façons d'aborder cette étude. Nous parlerons plus particulièrement de programme AB et de programme BA. Le premier programme a été étudié, entre autre, par T. Aubin, O. Druet, E. Hebey et M. Vaugon. Le second trouve sa source en théorie des semi-groupes de Markov. Il a notamment été étudié par D. Bakry et M. Ledoux. Les inégalités de Sobolev sont un cas particulier des inégalités de Gagliardo-Nirenberg. Il est donc naturel de se demander si les résultats connus pour les inégalités de Sobolev s'adaptent aux autres inégalités de la famille. Les premiers travaux de ce type se sont portés sur l'inégalité de Nash et les inégalités de Sobolev logarithmique. Dans cette thèse, nous obtenons une généralisation de ces travaux à une famille d'inégalités plus large. Plus précisément, nous adaptons les programmes AB et BA à une sous-famille des inégalités de Gagliardo-Nirenberg contenant, entre autres, l'inégalité de Nash.
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  • HAL Id : tel-00005408 , version 1

Citer

Christophe Brouttelande. Inegalites de Gagliardo-Nirenberg optimales sur les varietes riemanniennes. Mathématiques [math]. Université Paul Sabatier - Toulouse III, 2003. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00005408⟩
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