Real zeros and size of Rankin-Selberg L-functions in the level aspect
Zéros réels et taille des fonctions L de Rankin-Selberg par rapport au niveau
Résumé
This thesis establishes some strong asymptotic formulae for the harmonic mollified second moment of a family of Rankin-Selberg $L$-functions. The main contribution is a substancial improvement of the admissible length of the mollifier which is done by solving a shifted convolution problem by a spectral method on average. A first consequence is a new sharp subconvexity bound for Rankin-Selberg L-functions in the level aspect which has many already known arithmetic applications. Moreover, infinitely many Rankin-Selberg L-functions having at most eight non-trivial real zeros are produced and some new non-trivial estimates of the analytic rank of the family studied are obtained.
Cette thèse établit des formules asymptotiques robustes pour le second moment harmonique ramolli des fonctions $L$ de Rankin-Selberg. La principale contribution est une amélioration substancielle de la longueur admissible du ramollisseur qui est réalisée grâce à la résolution d'un problème de convolution avec décalage additif par une méthode spectrale considérée en moyenne. Une première conséquence est une nouvelle borne de sous-convexité pour les fonctions L de Rankin-Selberg par rapport au niveau qui possède de nombreuses applications arithmétiques déjà connues. En outre, une infinité de fonctions L de Rankin-Selberg ayant au plus huit zéros réels non-triviaux est exhibée et de nouvelles estimations non-triviales du rang analytique de la famille étudiée sont obtenues.
Mots clés
Rankin-Selberg L functions
non-trivial real zeros
subconvexity problem
shifted convolution problem
hyperbolic Laplacian
spectral theory
spectral method
large sieve inequalities
mollification and amplification methods.
méthodes de ramollissement et d'amplification
fonctions L de Rankin-Selberg
zéros réels non-triviaux
problème de sous-convexité
problème de convolution avec décalage additif
Laplacien hyperbolique
théorie spectrale
méthode spectrale
inégalités du grand crible
méthodes de ramollissement et d'amplification.