Physique statistique de modeles contraints sur reseaux reguliers et aleatoires : des pliages aux meandres - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Hdr Année : 2004

Statistical physics of constrained models on regular and random lattices: from folding to meanders

Physique statistique de modeles contraints sur reseaux reguliers et aleatoires : des pliages aux meandres

Emmanuel Guitter

Résumé

This dissertation discusses the statistical properties of strongly constrained systems intimately linked to problems of folding of two-dimensional discrete lattices, either regular or random. In the first part, we consider precisely the folding of two-dimensional lattices: the problem is to fold a lattice along its edges while keeping its faces undeformed. We study in details the case of the triangular lattice, for which several models of folding are discussed, corresponding to several ``target spaces". The link between foldings, colorings and fully packed loop gases is discussed. We finally extend our description to the case of folding of random triangulations. The second part is devoted to fully packed loop gases, i.e. loops visiting all the nodes of a lattice. In the case of random lattices, our study will reveal how the bipartite nature of the lattice does change the statistical properties of the system. A particular attention is paid to Hamiltonian cycles, corresponding to the case where the lattice is covered by a single loop, and for which an irrational configuration exponent is predicted for an apparently harmless combinatorial problem. Finally, the third part is devoted to meanders, an apparently simple combinatorial problem (count the configurations of a circuit crossing a river at a given number of bridges) which remains unsolved to this day. After giving a few exact results for some variants of the problem, we study the asymptotic properties (at large number of bridges) of meanders. Their formulation as a gas of fully packed loops on random graphs allows to predict irrational configuration exponents which are tested numerically. The link between meanders and foldings of random quadrangulations is also established.
Ce memoire s'interesse aux proprietes statistiques de systemes fortement contraints, tous intimement lies a des problemes de pliages de reseaux bidimensionnels discrets, reguliers ou aleatoires. Dans une premiere partie, on considere le pliage de reseaux bidimensionnels proprement dit: il s'agit de plier un reseau le long de ses aretes tout en conservant ses faces non-deformees. Nous etudions en detail le cas du reseau triangulaire, pour lequel plusieurs modeles de pliage sont discutes, correspondant a plusieurs ``espaces cibles". Le lien entre les pliages, les coloriages et les gaz de boucles compactes est discute. Nous etendons finalement notre description au cas du pliage de triangulations aleatoires. La deuxieme partie s'interesse aux gaz de boucles compactes, c'est a dire passant par tous les noeuds d'un reseau. Dans le cas de reseaux aleatoires, notre etude revele comment le caractere bipartite du reseau change les proprietes statistiques du systeme. Une attention particuliere est portee aux cycles hamiltoniens, correspondant au cas ou le reseau est couvert par une boucle unique, et pour lesquels un exposant de configuration irrationnel est predit pour un probleme combinatoire apparemment anodin. Enfin, la troisieme partie s'interesse aux meandres, un probleme combinatoire apparemment simple (compter les configurations d'un circuit traversant une riviere en un nombre donne de ponts) mais qui resiste encore aujourd'hui. Apres avoir donne un quelques resultats exacts pour des variantes du probleme, nous etudions les proprietes asymptotiques (a grand nombre de ponts) des meandres. Leur formulation comme gaz de boucles compactes sur des graphes aleatoires permet de predire des exposants de configuration irrationnels qui sont testes numeriquement. Le lien entre meandres et pliages de quadrangulations aleatoires est egalement etabli.
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Citer

Emmanuel Guitter. Physique statistique de modeles contraints sur reseaux reguliers et aleatoires : des pliages aux meandres. Physique mathématique [math-ph]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2004. ⟨tel-00006781⟩
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