Dynamique topologique d'une action de groupe sur un espace homogène : exemples d'actions unipotente et diagonale - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2003

Dynamique topologique d'une action de groupe sur un espace homogène : exemples d'actions unipotente et diagonale

Résumé

This thesis deals with two examples of group actions on homogeneous spaces and their topological dynamics. Each of them is conjugate to a flow on a fibered space over a locally symmetric space. The first chapter contains generalities about hyperbolic spaces, their products and their isometries groups. The second chapter is devoted to the action of the upper unipotent subgroup on the quotient of the projective unimodular complex $2\times2$ group by a discrete subgroup. This action is conjugate to a frame flow on the tangent bundle of an hyperbolic 3-manifold. Dense and closed orbits are characterised. Hence we obtain a dynamical characterisation of different classes of Kleinian groups (geometrically finite, convex-cocompact and lattices). In the third chapter, we consider the product of two copies of the real projective unimodular $2\times2$ group and study the action of the product of diagonal subgroups on finite-volume quotients. When such a quotient is irreducible, Margulis conjectured that every orbit is either dense or closed. Closed orbits are characterised and we exhibit points of the Furstenberg boundary giving rise to dense orbits. In the last chapter, we look more closely at the special case of Hilbert modular lattices. We study the relation between the above conjecture about orbits and the diophantine approximation of pairs of real numbers by a real quadratic field.
L'objet de cette thèse est l'étude de deux exemples d'action d'un groupe sur un espace homogène et de leur dynamique topologique. Chacune de ces actions est conjuguée à un flot sur une fibration sur un espace localement symétrique. Le premier chapitre est consacré à des généralités sur les espaces hyperboliques, leur produit et leur groupe d'isométries. Dans le second chapitre, nous étudions l'action du groupe unipotent supérieur sur le quotient du groupe projectif unimodulaire complexe $2\times2$ par un sous-groupe discret. Cette action est conjuguée à un flot des repères orthonormés directs de l'espace tangent d'une variété hyperbolique de dimension $3$. Nous caractérisons les orbites denses et les orbites fermées et obtenons ainsi une caractérisation dynamique de certaines catégories de groupes kleiniens (géométriquement finis, convexe-cocompacts, réseaux). Nous considérons, dans le troisième chapitre, le produit de deux groupes projectifs unimodulaires réels $2\times2$ et nous étudions l'action du produit des sous-groupes diagonaux sur les quotients de mesure finie. Lorsqu'un tel quotient est irréductible, une conjecture de Margulis affirme que les orbites sont alors denses ou fermées. Nous caractérisons les orbites fermées et nous exhibons certains points de la frontière de Furstenberg du bi-disque donnant lieu à des orbites denses. Dans le quatrième chapitre, nous relions, pour les réseaux de Hilbert, la conjecture précédente à l'approximation diophantienne des couples de réels par les éléments d'un corps réel quadratique.
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Dates et versions

tel-00007213 , version 1 (27-10-2004)

Identifiants

  • HAL Id : tel-00007213 , version 1

Citer

Damien Ferte. Dynamique topologique d'une action de groupe sur un espace homogène : exemples d'actions unipotente et diagonale. Mathématiques [math]. Université Rennes 1, 2003. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00007213⟩
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