Study of adiabatic perturbations of the periodic Schrödinger equation
Etude de perturbations adiabatiques de l'équation de Schrödinger périodique
Résumé
This work is devoted to the study of adiabatic perturbations of the periodic one-dimensional Schrödinger equation. We consider the operator $H_(\varphi,\varepsilon)=-\Delta+[V(x)+W(\varepsilon x+\varphi)]$ where $V$ is periodic, $W$ tends to zero as $x$ tends to infinity, $\varepsilon$ and $\varphi$ are real. We deal with the adiabatic limit where $\varepsilon$ is a small parameter. We are interested in the eigenvalues of $H_(\varphi,\varepsilon)$ in the gaps of the periodic operator $-\Delta+V$; under suitable assumptions for $W$, these eigenvalues are created by the extrema of $W$. If there is only one extremum, we prove that these eigenvalues oscillate around some quantized energies, given by a Bohr-Sommerfeld quantization rule. The amplitude of the oscillations is exponentially small and determined by a tunneling coefficient. If there are two extrema, each creates a sequence of eigenvalues; these can be resonant. In that case, we highlight a splitting phenomenon of the eigenvalues; this phenomenon is analogous to the well-known splitting for the double well.
Ce travail est consacré à l'étude de perturbations adiabatiques de l'équation de Schrödinger périodique en dimension 1. Précisément, on considère l'opérateur $H_(\varphi,\varepsilon)=-\Delta+[V(x)+W(\varepsilon x+\varphi)]$ lorsque $V$ est périodique, $W$ tend vers $0$ à l'infini, $\varepsilon$ et $\varphi$ sont des paramètres réels. On se place dans le cadre de la limite adiabatique où le paramètre $\varepsilon$ est petit. On s'intéresse aux valeurs propres de $H_(\varphi,\varepsilon)$ dans les lacunes de l'opérateur périodique $-\Delta+V$ ; sous des hypothèses adéquates sur $W$, ces valeurs propres sont créées par les extrema de $W$. Lorsque $W$ a un unique extremum, on montre que ces valeurs propres oscillent autour de certaines énergies quantifiées par une condition de type Bohr-Sommerfeld. L'amplitude des oscillations est exponentiellement petite et déterminée par un coefficient tunnel. Lorsque deux extrema sont en jeu, ils créent chacun une suite de valeurs propres ; celles-ci peuvent être résonantes. Dans ce cas, on met en évidence un phénomène d'éclatement ; ce phénomène est l'analogue de celui bien connu de splitting dans le cas du double puits.