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Theses Year : 2004

Explicit substitutions, logic and normalization

Subsitutions explicites, logique et normalisation

Emmanuel Polonovski
  • Function : Author
  • PersonId : 829901

Abstract

Explicit substitutions have been introduced as a refinment of the lambda-calculus - the usual formalism
used to study the semantic of programming languages. In this thesis, we study their properties of strong
normalization and preservation of strong normalization. Several works around those normalization
properties are presented here in three parts.

The first one formalises a general proof technique of strong normalization using preservation of
strong normalization. We apply this technique to several calculi with explicit substitutions to measure
its usefulness. A benefit of this work is a new result : the strong normalization of simply typed
lambda-upsilon-calculus.

The second one is the study of the normalization of a symmetric non-deterministic calculus providing a
term notation for classical sequent calculus, extended with explicit substitutions. Due to the
conjunction of symmetry and explicit substitutions, usual strong normalization proofs by reducibility
technique seems to fail. We then use the technique formalised above, which requires to establish the
preservation of strong normalization of the calculus. For this purpose, we use a fragment of the theory
of perpetuality in rewriting systems.

The definition and the study of a new version of the lambda-ws-calculus with names, the lambda-wsn-calculus, is
the third part of the thesis. To prove its strong normalization by translation and simulation in linear
logic proof nets, we enrich their cut elimination procedure with a new rule. It therefore constrains us
to establish strong normalization of this new notion of reduction on proof nets.
Les substitutions explicites ont été introduites comme un raffinement du lambda-calcul, celui-ci étant le
formalisme utilisé pour étudier la sémantique des langages de programmation. L'objet de cette thèse
est l'étude de leurs propriétés de normalisation forte et de préservation de la normalisation forte. Ce
manuscrit rend compte de plusieurs travaux autour de ces propriétés de normalisation, regroupés en
trois volets.

Le premier d'entre eux formalise une technique générale de preuve de normalisation forte utilisant
la préservation de la normalisation forte. On applique cette technique à un spectre assez large de calculs
avec substitutions explicites afin de mesurer les limites de son utilisation. Grâce à cette technique, on
prouve un résultat nouveau : la normalisation forte du lambda-upsilon-calcul simplement typé.

Le deuxième travail est l'étude de la normalisation d'un calcul symétrique non-déterministe issu de
la logique classique formulée dans le calcul des séquents, auquel est ajouté des substitutions explicites.
La conjonction des problèmes posés par les calculs symétriques et ceux posés par les substitutions
explicites semble vouer à l'échec l'utilisation de preuves par réductibilité. On utilise alors la technique
formalisée dans le premier travail, ce qui nous demande de prouver tout d'abord la préservation de la
normalisation forte. A cette fin, on utilise un fragment de la théorie de la perpétuité dans les systèmes
de réécriture.

La définition d'une nouvelle version du lambda-ws-calcul avec nom, le lambda-wsn-calcul, constitue le troisième
volet de la thèse. Pour prouver sa normalisation forte par traduction et simulation dans les réseaux
de preuve, on enrichit l'élimination des coupures de ceux-ci avec une nouvelle règle, ce qui nous oblige
à prouver que cette nouvelle notion de réduction est fortement normalisante.
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Dates and versions

tel-00007962 , version 1 (07-01-2005)

Identifiers

  • HAL Id : tel-00007962 , version 1

Cite

Emmanuel Polonovski. Subsitutions explicites, logique et normalisation. Modélisation et simulation. Université Paris-Diderot - Paris VII, 2004. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00007962⟩
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