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Thèse Année : 1999

Multipliers and functional analysis

Multiplicateurs et analyse fonctionnelle

Stefan Neuwirth

Résumé

We study several functional properties of unconditionality and state them as a property of families of multipliers. This Thesis has three parts. Part I is devoted to the study of several notions of isometric and almost isometric unconditionality in separable Banach spaces. The most general such notion is that of ``metric unconditional approximation property''. We characterize this ``umap'' by a simple property of ``block unconditionality'' for spaces with nontrivial cotype. We focus on subspaces of Banach spaces of functions on the circle spanned by a sequence of characters $e^(int)$. There umap may be stated in terms of Fourier multipliers. We express umap as a simple combinatorial property of this sequence. We obtain a corresponding result for isometric and almost isometric basic sequences of characters. Our study uses the following crucial property of the $L^p$ norm for even $p$: $\int |f|^p = \int (|f^(p/2)|)^2 = \sum |\widehat(f^(p/2))(n)|^2$ is a polynomial expression in the Fourier coefficients of $f$ and $\bar f$. As a byproduct, we get a sharp estimate of the Sidon constant of sets à la Hadamard. Part II studies Schur multipliers: we characterize isometric unconditional basic sequences of matrix entries $e_(ij)$ in the Schatten class $S^p$. The combinatorial properties that we obtain concern paths on the lattice $\N\times\N$ with vertices in this set. Part III studies the relationship between the growth rate of an integer sequence and harmonic and functional properties of the corresponding sequence of characters. We show in particular that every polynomial sequence contains a set that is $\Lambda(p)$ for all $p$ but is not a Rosenthal set. This holds also for the sequence of primes.
Nous étudions plusieurs propriétés fonctionnelles d'inconditionnalité en les exprimant à l'aide de multiplicateurs. La première partie est consacrée à l'étude de phénomènes d'inconditionnalité isométrique et presqu'isométrique dans les espaces de Banach séparables. Parmi ceux-ci, la notion la plus générale est celle de ``propriété d'approximation inconditionnelle métrique''. Nous la caractérisons parmi les espaces de Banach de cotype fini par une propriété simple d'``inconditionnalité par blocs''. En nous ramenant à des multiplicateurs de Fourier, nous étudions cette propriété dans les sous-espaces des espaces de Banach de fonctions sur le cercle qui sont engendrés par une suite de caractères $e^(int)$. Nous étudions aussi les suites basiques inconditionnelles isométriques et presqu'isométriques de caractères, en particulier les ensembles de Sidon de constante asymptotiquement 1. Nous obtenons dans chaque cas des propriétés combinatoires sur la suite. La propriété suivante des normes $L^p$ est cruciale pour notre étude: si $p$ est un entier pair, $\int |f|^p = \int (|f^(p/2)|)^2 = \sum |\widehat(f^(p/2))(n)|^2$ est une expression polynomiale en les coefficients de Fourier de $f$ et $\bar f$. Nous proposons d'ailleurs une estimation précise de la constante de Sidon des ensembles à la Hadamard. La deuxième partie étudie les multiplicateurs de Schur: nous caractérisons les suites basiques inconditionnelles isométriques d'entrées de matrice $e_(ij)$ dans la classe de Schatten $S^p$. Les propriétés combinatoires que nous obtenons portent sur les chemins dans le réseau $\N \times \N$ à sommets dans cet ensemble. La troisième partie étudie le rapport entre la croissance d'une suite d'entiers et les propriétés harmoniques et fonctionnelles de la suite de caractères associée. Nous montrons en particulier que toute suite polynomiale, ainsi que la suite des nombres premiers, contient un ensemble $\Lambda(p)$ pour tout $p$ qui n'est pas de Rosenthal.
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  • HAL Id : tel-00010399 , version 1

Citer

Stefan Neuwirth. Multipliers and functional analysis. Mathematics [math]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 1999. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00010399⟩
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