Potential theory on curves in non-Archimedean geometry. Applications to Arakelov theory.
Théorie du potentiel sur les courbes en géométrie analytique non archimédienne. Applications à la théorie d'Arakelov
Résumé
Relying on V.G. Berkovich's viewpoint in analytic geometry over a non-Archimedean field k, we establish in this thesis that smooth k-analytic curves carry a natural potential theory, fully similar to the classical theory on Riemann surfaces (complex analytic curves). The initial motivation comes from R. Rumely's work on arithmetical implications of such a theory. Non-Archimedean potential theory has a strong geometric flavour, of which one makes use to define harmonic functions and to prove their basic properties. We then introduce a notion of smooth function, as well as a linear operator, analogue of the complex laplacian dd^c, which is studied through distribution theory. The last chapter deals with a generalization of one-dimensional Arakelov geometry relying on non-Archimedean potential theory. It is used to establish an equidistribution result for sequences of points of small height and to give a new proof for a theorem of Rumely on arithmetic capacities.
Utilisant le point de vue introduit par V.G. Berkovich en géométrie analytique sur un corps non archimédien k, nous montrons dans cette thèse qu'il existe une théorie du potentiel naturelle sur toute courbe k-analytique lisse, tout à fait similaire à la théorie classique sur les surfaces de Riemann (courbes analytiques complexes). La motivation initiale vient des travaux de R. Rumely sur les applications arithmétiques d'une telle théorie. La théorie non archimédienne du potentiel à un aspect fortement combinatoire que l'on exploite initialement pour définir les fonctions harmoniques et établir leurs propriétés fondamentales. Nous introduisons ensuite une notion de fonction lisse ainsi qu'un opérateur linéaire, formellement analogue au laplacien complexe dd^c, que l'on étudie via une théorie des distributions. Le dernier chapitre présente une généralisation de la théorie d'Arakelov en dimension un, fondée sur la théorie non archimédienne du potentiel. Nous l'utilisons pour établir un théorème d'équidistribution des suites de points de petite hauteur, ainsi que pour donner une nouvelle démonstration d'un théorème de Rumely sur les capacités arithmétiques.