Nonparametric regression and spatially inhomogeneous information - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2005

Nonparametric regression and spatially inhomogeneous information

Régression non-paramétrique et information spatialement inhomogène

Résumé

We study the nonparametric estimation of a signal based on inhomogeneous noisy data (the amount of data varies on the estimation domain). We consider the model of nonparametric regression with random design. Our aim is to understand the consequences of inhomogeneous data on the estimation problem in the minimax setup. Our approach is twofold: local and global. In the local setup, we want to recover the regression at a point with little, or much data. By translating this property into several assumptions on the design density, we obtain a large range of new minimax rates, containing very slow and very fast rates. Then, we construct a smoothness adaptive procedure, and we show that it converges with a
minimax rate penalised by a minimal cost. In the global setup, we want
to recover the regression with sup norm loss. We propose estimators
converging with rates which are sensitive to the inhomogeneous
behaviour of the information in the model. We prove the spatial
optimality of these rates, which consists in an enforcement of the
classical minimax lower bound for sup norm loss. In particular, we
construct an asymptotically sharp estimator over Hölder balls with
any smoothness, and a confidence band with a width which adapts to the
local amount of data.
Nous étudions l'estimation non-paramétrique d'un signal à partir de
données bruitées spatialement inhomogènes (données dont la quantité
varie sur le domaine d'estimation). Le prototype d'étude est le modèle
de régression avec design aléatoire. Notre objectif est de comprendre
les conséquences du caractère inhomogène des données sur le problème
d'estimation dans le cadre d'étude minimax. Nous adoptons deux points
de vue : local et global. Du point de vue local, nous nous intéressons
à l'estimation de la régression en un point avec peu ou beaucoup de
données. En traduisant cette propriété par différentes hypothèses sur
le comportement local de la densité du design, nous obtenons toute une
gamme de nouvelles vitesses minimax ponctuelles, comprenant des
vitesses très lentes et des vitesses très rapides. Puis, nous
construisons une procédure adaptative en la régularité de la
régression, et nous montrons qu'elle converge avec la vitesse minimax
à laquelle s'ajoute un coût minimal pour l'adaptation locale. Du point
de vue global, nous nous intéressons à l'estimation de la régression
en perte uniforme. Nous proposons des estimateurs qui convergent avec
des vitesses dépendantes de l'espace, lesquelles rendent compte du
caractère inhomogène de l'information dans le modèle. Nous montrons
l'optimalité spatiale de ces vitesses, qui consiste en un renforcement
de la borne inférieure minimax classique pour la perte uniforme. Nous
construisons notamment un estimateur asymptotiquement exact sur une
boule de Hölder de régularité quelconque, ainsi qu'une bande de
confiance dont la largeur s'adapte à la quantité locale de données.
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Dates et versions

tel-00011261 , version 1 (22-12-2005)

Identifiants

  • HAL Id : tel-00011261 , version 1

Citer

Stéphane Gaiffas. Nonparametric regression and spatially inhomogeneous information. Mathematics [math]. Université Paris-Diderot - Paris VII, 2005. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00011261⟩
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