Laminations and tilings of the Hyperbolic upper half plane
Laminations et pavages du demi-plan hyperbolique
Résumé
This thesis is devoted to the study of dynamical systems associated with tilings of the
Euclidean plane or of the Hyperbolic half-plane. A such tiling codes an action of a group of
isometries (namely the group of translations of the plane or the group of affine maps) on a compact
metric space $\Omega$ such that the properties of this action are related with the combinatoric
properties of the tiling. The behaviors of the actions obtained by this way are really various. In
some cases, like for example for the Penrose's tiling, this action is free and minimal. This gives
to the set $\Omega$ a structure of a specific lamination called {\it solenoid}. This space is
locally the product of a Cantor set with an open subset of the Euclidean (resp. Hyperbolic) plane.
In this thesis, we study the statistical behaviors of the orbits for this action. We give a
combinatoric characterization of the invariant probability measures and of the harmonic measures of
the associated solenoid. We observe here a fundamental difference between the Euclidean and the
Hyperbolic case. Finally, for every integer $r \geq 1$, we give explicit examples of tilings of the
Hyperbolic half-plane whose the associated dynamical system is a minimal and free action with
exactly $r$ ergodic invariant finite measures.
Euclidean plane or of the Hyperbolic half-plane. A such tiling codes an action of a group of
isometries (namely the group of translations of the plane or the group of affine maps) on a compact
metric space $\Omega$ such that the properties of this action are related with the combinatoric
properties of the tiling. The behaviors of the actions obtained by this way are really various. In
some cases, like for example for the Penrose's tiling, this action is free and minimal. This gives
to the set $\Omega$ a structure of a specific lamination called {\it solenoid}. This space is
locally the product of a Cantor set with an open subset of the Euclidean (resp. Hyperbolic) plane.
In this thesis, we study the statistical behaviors of the orbits for this action. We give a
combinatoric characterization of the invariant probability measures and of the harmonic measures of
the associated solenoid. We observe here a fundamental difference between the Euclidean and the
Hyperbolic case. Finally, for every integer $r \geq 1$, we give explicit examples of tilings of the
Hyperbolic half-plane whose the associated dynamical system is a minimal and free action with
exactly $r$ ergodic invariant finite measures.
Cette th{è}se traite des propri{é}t{é}s des syst{è}mes dynamiques associ{é}s aux pavages du plan
euclidien $\R^2$ et du demi-plan hyperbolique \H. Un pavage de $\R^2$ ou de \H, code une action
d'un groupe d'isom{é}tries (soit le groupe des translations du plan, soit le groupe des
transformations affines) sur un espace m{é}trique compact $\Omega$ de sorte que les propri{é}t{é}s de
cette action sont reli{é}es avec les propri{é}t{é}s combinatoires du pavage. Les actions obtenues par
cette mani{è}re ont des comportements tr{è}s vari{é}s. Pour certains cas, comme par exemple pour le
pavage de Penrose, cette action est libre et minimale. Ceci donne {à} l'espace $\Omega$ une structure
de lamination particuli{è}re appell{é}e {\it sol{é}no{\"\i}de}. Localement, cet espace est le produit d'un
ensemble de Cantor par un ouvert du plan euclidien (resp. hyperbolique). Dans cette th{è}se, nous
{é}tudions principalement le comportement statistique des orbites de telles actions. Pour cela nous
caract{é}risons les mesures finies invariantes pour ces actions ainsi que les mesures harmoniques des
sol{é}no{\"\i}des associ{é}s. Il apparait des diff{é}rences fondamentales dans les techniques utilis{é}es entre
le cas euclidien et le cas hyperbolique. Nous donnons de plus, pour tout entier $r\geq 1$ des
exemples explicites de pavages du demi-plan hyperbolique dont le syst{è}me dynamique associ{é} est une
action libre et minimale poss{é}dant $r$ mesures finies invariantes et ergodiques.
euclidien $\R^2$ et du demi-plan hyperbolique \H. Un pavage de $\R^2$ ou de \H, code une action
d'un groupe d'isom{é}tries (soit le groupe des translations du plan, soit le groupe des
transformations affines) sur un espace m{é}trique compact $\Omega$ de sorte que les propri{é}t{é}s de
cette action sont reli{é}es avec les propri{é}t{é}s combinatoires du pavage. Les actions obtenues par
cette mani{è}re ont des comportements tr{è}s vari{é}s. Pour certains cas, comme par exemple pour le
pavage de Penrose, cette action est libre et minimale. Ceci donne {à} l'espace $\Omega$ une structure
de lamination particuli{è}re appell{é}e {\it sol{é}no{\"\i}de}. Localement, cet espace est le produit d'un
ensemble de Cantor par un ouvert du plan euclidien (resp. hyperbolique). Dans cette th{è}se, nous
{é}tudions principalement le comportement statistique des orbites de telles actions. Pour cela nous
caract{é}risons les mesures finies invariantes pour ces actions ainsi que les mesures harmoniques des
sol{é}no{\"\i}des associ{é}s. Il apparait des diff{é}rences fondamentales dans les techniques utilis{é}es entre
le cas euclidien et le cas hyperbolique. Nous donnons de plus, pour tout entier $r\geq 1$ des
exemples explicites de pavages du demi-plan hyperbolique dont le syst{è}me dynamique associ{é} est une
action libre et minimale poss{é}dant $r$ mesures finies invariantes et ergodiques.
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