Géométrie de l'espace d'Urysohn et théorie descriptive des ensembles
Résumé
The starting point of this thesis was the study of the geometric properties of a remarkable Polish metric space, built by Urysohn in 1925. This space was almost forgotten for 60 years but has been more and more studied ever since Katětov gave another construction of it in 1986. This new construction is based on the space E(X) of Katětov maps on a metric space X, and these maps are the main tool we use for our study. We provide a characterization of the Polish metric spaces X such that E(X) is separable, then use these maps to show (answering a question of A.S Kechris) that any compact metrizable group is isomorphic to the isometry group of a compact metric space. We use similar techniques to study different geometric properties of the Urysohn space and its isometry group. We also apply our methods to the study of some “definable” classification problems; most notably we compute the Borel complexity of the relation of (linear) isometry between separable Banach spaces.
Le point de départ de ce travail est l'étude de la géométrie d'un espace polonais remarquable construit par Urysohn en 1925, presque oublié pendant 60 ans puis très étudié depuis 1986, date à laquelle Katětov en a donné une nouvelle construction. Celle-ci est basée sur l'espace E(X) des fonctions de Katětov sur un espace métrique X. Ces fonctions sont l'outil majeur de cette thèse; nous caractérisons les polonais X tels que E(X) est séparable, puis utilisons E(X) pour montrer (répondant à une question d'A.S Kechris) que tout groupe compact métrisable est isométrique au groupe d'isométries d'un espace métrique compact. Nous utilisons ensuite ces techniques pour donner de nouveaux résultats sur la géométrie de l'espace d'Urysohn et sur ses isométries. Nous appliquons également notre travail à l'étude de divers problèmes de classification « définissables » ; en particulier, nous calculons la complexité borélienne de la relation d'isométrie entre espaces de Banach séparables.