Dynamique des équations des ondes avec amortissement variable - TEL - Thèses en ligne Access content directly
Theses Year : 2005

Dynamics of the wave equations with variable damping

Dynamique des équations des ondes avec amortissement variable

Romain Joly

Abstract

This thesis concerns the qualitative study of the dynamics of the damped wave equations on a bounded domain Ω of R^d. We begin with a chapter describing the various notions of stability and reviewing the known results.
In the next chapter, we prove the genericity, with respect to the non-linearity, of the Morse-Smale property for the one-dimensional wave equation with internal damping γ(x) (WEID) and the one with boundary damping g(x)δ_{x on the boundary} (WEBD). The proof mainly uses accurate properties of the asymptotic behaviour of the functions t--->u(x_0,t), where u is a bounded solution of either Equations (WEID) or (WEBD), or their adjoint equations, and where x_0 is a fixed point of Ω. This asymptotic behaviour is deduced from the spectral properties of the linearized operator around an equilibrium point. In particular, the eigenvectors of this operator form a Riesz basis and its eigenvalues are generically simple.
The last part of this thesis concerns the study of the convergence of the dynamics of Equation (WEID) to the ones of Equation (WEBD) when the sequence of internal dampings γ_n(x) converges to g(x)δ_{x on the boundary} in the sense of distributions. In dimension d=1, we show that the dynamics of (WEID) converge to the ones of (WEBD). In dimension d>1, weaker results of convergence of attractors are obtained. The perturbation studied here is singular and thus, some classical results of stability have to be generalized. To obtain the best results of convergence, one has to show that the linear semigroups associated with (WEID) decay with an exponential rate ||e^{A_nt}||X
Cette thèse a pour sujet l'étude qualitative de la dynamique des équations des ondes amorties sur un domaine borné Ω de R^d. Outre un chapitre de présentation des notions de stabilité de la dynamique et des travaux antérieurs, cette thèse s'articule autour de deux parties principales.
Dans la première partie, on démontre, en dimension d=1, que la propriété de Morse-Smale est générique par rapport à la non-linéarité, pour l'équation des ondes avec amortissement interne γ(x) (EOAI) et celle avec amortissement sur le bord g(x)δ_{x sur le bord} (EOAB). La démonstration utilise des propriétés fines du comportement asymptotique des fonctions t--->u(x_0,t), où u est une solution bornée des équations (EOAI), (EOAB) ou de leurs équations adjointes et où x_0 est un point fixé de Ω. Ce comportement asymptotique se déduit principalement des propriétés spectrales de l'opérateur linéarisé autour d'un point d'équilibre. En particulier, les vecteurs propres de cet opérateur forment une base de Riesz et ses valeurs propres sont génériquement simples.
La deuxième partie de cette thèse concerne l'étude de la convergence de la dynamique de l'équation (EOAI) vers celle de l'équation (EOAB) quand la suite d'amortissements internes γ_n(x) tend vers g(x)δ_{x sur le bord} au sens des distributions. En dimension d=1, on montre que la dynamique de (EOAI) converge vers celle de (EOAB). En dimension d>1, des résultats un peu plus faibles de convergence des attracteurs sont obtenus. La perturbation étudiée ici est irrégulière et on doit donc généraliser certains théorèmes classiques de stabilité. Pour obtenir les meilleurs résultats de convergence, il faut montrer que les semi-groupes linéaires associés à (EOAI) satisfont à une décroissance de type exponentiel ||e^{A_nt}||X
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Dates and versions

tel-00011715 , version 1 (02-03-2006)

Identifiers

  • HAL Id : tel-00011715 , version 1

Cite

Romain Joly. Dynamique des équations des ondes avec amortissement variable. Mathématiques [math]. Université Paris Sud - Paris XI, 2005. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00011715⟩
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