Varietes kaehleriennes et hyperkaeleriennes de dimension infinie
Infinite-dimensional Kaehler and hyperkaehler monifolds
Résumé
In the first chapter of this thesis, we describe an example of a hyperkaehler quotient of a Banach manifold by a Banach Lie group. Although the initial manifold is not diffeomorphic to a Hilbert manifold (not even to a manifold modelled on a reflexive Banach space), the quotient space obtained is a Hilbert manifold, which can be furthermore identified either with the cotangent space of a connected component of the restricted Grassmannian or with a natural complexification of this connected component.
The second chapter is divided into 3 parts. The first part is devoted to a classification Theorem of irreducible Hermitien-symmetric affine coadjoint orbits of L*-groups of compact type. In the second part, we give a proof of Mostow's Decomposition Theorem for a semi-simple L*-group. In the last part, we construct an hyperkaehler structure on complexifications of Hermitian-symmetric affine coadjoint orbits of semi-simple L*-group of compact type.
The second chapter is divided into 3 parts. The first part is devoted to a classification Theorem of irreducible Hermitien-symmetric affine coadjoint orbits of L*-groups of compact type. In the second part, we give a proof of Mostow's Decomposition Theorem for a semi-simple L*-group. In the last part, we construct an hyperkaehler structure on complexifications of Hermitian-symmetric affine coadjoint orbits of semi-simple L*-group of compact type.
Le premier chapitre de cette thèse est consacré, d'une part à l'étude des quotients kaehlériens et hyperkaehlériens dans le cadre banachique et, d'autre part, à la construction par quotient hyperkaehlérien (d'une variété banachique non hilbertienne par un groupe de Lie banachique) d'une variété hilbertienne qui s'identifie (en fonction de la structure complexe distinguée) soit à l'espace cotangent d'une composante connexe de la grassmannienne restreinte définie par G. Segal et G. Wilson, soit à une complexification naturelle de cette grassmannienne. Le second chapitre comprend trois parties. La première partie est consacrée à la classification des orbites coadjointes affines hermitiennes symétriques irréductibles des L*-groupes de type compact. La seconde partie est consacrée a la démonstration du théorème de Mostow pour un L*-groupe semi-simple de type compact. Dans la troisième partie, je construis une structure hyperkaehlérienne sur les orbites complexifiées des orbites coadjointes affines hermitiennes symétriques des L*-groupes semi-simples de type compact.