Geometry of symplectic Lie groups
Géométrie des Groupes de Lie symplectiques
Résumé
A symplectic Lie group is a Lie group endowed with a left invariant symplectic form. These groups are naturally endowed with an affine structure associted to a symplectic form.
In this thesis, on the one hand, we determine the $4$ and $6$-dimentional connected and simply connected symplectic Lie groups and on the other hand we study an infinity familly of symplectic groups in which the symplectic form is "invariantly" exact.
In all these cases we are interesting to the existence of the Lagrangian subgroups and sometimes transversal Lagrangian subgroups to underline left invariant symplectic affines structures.
The structure of these groups is studied using the momentum map
In this thesis, on the one hand, we determine the $4$ and $6$-dimentional connected and simply connected symplectic Lie groups and on the other hand we study an infinity familly of symplectic groups in which the symplectic form is "invariantly" exact.
In all these cases we are interesting to the existence of the Lagrangian subgroups and sometimes transversal Lagrangian subgroups to underline left invariant symplectic affines structures.
The structure of these groups is studied using the momentum map
Un groupe de Lie est dit symplectique s'il est muni d'une forme symplectique invariante à gauche . Ces groupes sont naturellement munis d'une structure affine associée à la forme symplectique. \\
Dans cette thèse d'une part nous déterminons les groupes de Lie symplectiques connexes et simplement connexes de dimension $4$ et $6$ et d'autre part nous étudions une famille infinie de groupes symplectiques dans lesquels la forme symplectique est "invariantement" exacte.
Dans tous ces cas nous nous intéressons à l'existence de sous-groupes lagrangiens et parfois des sous-groupes lagrangiens transverses pour mettre en évidence des structures symplectiques affines invariantes à gauche.
La structure de ces groupes est étudiée à l'aide de l'application moment.
Dans cette thèse d'une part nous déterminons les groupes de Lie symplectiques connexes et simplement connexes de dimension $4$ et $6$ et d'autre part nous étudions une famille infinie de groupes symplectiques dans lesquels la forme symplectique est "invariantement" exacte.
Dans tous ces cas nous nous intéressons à l'existence de sous-groupes lagrangiens et parfois des sous-groupes lagrangiens transverses pour mettre en évidence des structures symplectiques affines invariantes à gauche.
La structure de ces groupes est étudiée à l'aide de l'application moment.
Mots clés
Groupes de Lie symplectiques
Groupes de Lie-Frobénius
Groupes de Lie affines
Connexion symplectique
Application moment
Double extension symplectique
Réduction symplectique
Double extension symplectique.
Symplectic Lie groups
Frobenius-Lie groups
affines Lie groups
symplectic connection
momentum map
symplectic reduction
symplectique double extension.
Domaines
Mathématiques [math]
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