Analyse haute fréquence de l'équation de Helmholtz avec terme source
Abstract
We study the high frequency limit of the Helmholtz equation with source term in the case when the frequency of the oscillations due to the source is the same as that of the eigen modes of the Helmholtz operator, so as to create resonant ineractions. We quantify the asymptotic transport of the energy using Wigner measures (or semiclassical measures).
We study two different situations: the case of two point sources (for which we restrict ourselves to a constant index of refraction), and the case of a refraction index that is discontinuous along an interface between two unbounded inhomogeneous media.
In both cases, we prove that, under some geometric hypotheses, the Wigner measure is the integral along the rays of geometric optics and up to infinite time, of an energy source that measures the resonant interactions between the source and the solution.
We study two different situations: the case of two point sources (for which we restrict ourselves to a constant index of refraction), and the case of a refraction index that is discontinuous along an interface between two unbounded inhomogeneous media.
In both cases, we prove that, under some geometric hypotheses, the Wigner measure is the integral along the rays of geometric optics and up to infinite time, of an energy source that measures the resonant interactions between the source and the solution.
Nous étudions la limite haute fréquence de l'équation de Helmholtz avec terme source dans le cas où la fréquence des oscillations dues à la source est identique à celle des modes propres de l'opérateur de Helmholtz qui régit la propagation des ondes, de sorte que des intéractions résonantes peuvent se produire. Nous quantifions le transport asymptotique de l'énergie via l'utilisation des mesures de Wigner (ou mesures semi-classiques).
Nos résultats concernent deux cadres d'étude : le cas de deux sources quasi-ponctuelles (pour lequel nous nous limitons à un indice de réfraction constant), et le cas d'un indice de réfraction discontinu le long d'une interface séparant deux milieux inhomogènes non bornés.
Dans les deux cas, nous montrons que, sous des hypothèses géométriques appropriées, la mesure de Wigner est l'intégrale le long des rayons de l'optique géométrique et jusqu'en temps infini, d'une source d'énergie qui mesure les interactions résonantes entre la source et la solution.
Nos résultats concernent deux cadres d'étude : le cas de deux sources quasi-ponctuelles (pour lequel nous nous limitons à un indice de réfraction constant), et le cas d'un indice de réfraction discontinu le long d'une interface séparant deux milieux inhomogènes non bornés.
Dans les deux cas, nous montrons que, sous des hypothèses géométriques appropriées, la mesure de Wigner est l'intégrale le long des rayons de l'optique géométrique et jusqu'en temps infini, d'une source d'énergie qui mesure les interactions résonantes entre la source et la solution.