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Theses Year : 2000

Rings of formal power series defined by the growth of coefficients

Anneaux de séries formelles à croissance contrôlée

Augustin Mouze
  • Function : Author
  • PersonId : 833956

Abstract

Given a sequence $M=\{M_n\}_{n\in\bkN}$ of real positive numbers
logarithmically convex, we study subrings $\Gamma_M$ of the ring
of formal power series in $s$ variables whose coefficients
satisfy growth conditions with respect to $M.$ Under very few restrictive
conditions on $M,$ we get in these rings composition theorems.
We study the following problem. Given $F$ in $(\Gamma_M)^{s},$ if
${\cal A}\circ F$ belongs to $\Gamma_M,$ which $\Gamma_N$ does the
series ${\cal A}$ belong to ?
We also prove that, given a good order on $\bkN^{s},$ we can divide any series
in $\Gamma_M$ by a finite family of series $f_1,\dots,f_p$ in such a way that
the quotients and the remainder belong to $\Gamma_M.$ Then we
discuss algebraic properties of $\Gamma_M$ as division properties
modulo an ideal, noetherianity and flatness. We get preparation theorems
of Malgrange type in these rings. We also prove a version of
Artin's theorem.
Soit $M=\{M_n\}_{n\in\bkN}$ une suite de réels positifs logarithmiquement convexe. On étudie les sous-anneaux $\Gamma_M$ de l'anneau des séries
formelles en $s$ variables dont la croissance des coefficients est contrôlée par la suite $M.$ Sous de faibles hypothèses sur $M,$ on obtient, tout d'abord, des théorèmes de composition. On apporte, par exemple, une réponse à la question suivante. Etant donnée une application $F$ dans $(\Gamma_M)^{s},$ si ${\cal A}\circ F$ appartient à $\Gamma_M,$ à quelle classe $\Gamma_N$ la
série ${\cal A}$ appartient-elle? On établit ensuite quelques propriétés algébriques de ces anneaux. On montre qu'étant donné un bon ordre sur $\bkN^{s},$ on peut diviser dans $\Gamma_M$ toute série
par une famille finie $f_1,\dots,f_p$ telle que les quotients et le reste appartiennent encore à $\Gamma_M.$ Cela permet d'aborder des problèmes
comme la division modulo un idéal, la noetherianité ou la platitude.
On obtient aussi des théorèmes de préparation du type Malgrange.
On étend également le célèbre théorème d'approximation d'Artin.
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Dates and versions

tel-00080323 , version 1 (15-06-2006)

Identifiers

  • HAL Id : tel-00080323 , version 1

Cite

Augustin Mouze. Anneaux de séries formelles à croissance contrôlée. Mathématiques [math]. Université des Sciences et Technologie de Lille - Lille I, 2000. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00080323⟩
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