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Theses Year : 2006

Some applications of functional inequalities to statistical mechanics and simulated annealing

Applications d'inégalités fonctionnelles à la mécanique statistique et au recuit simulé

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Abstract

In this work, we apply several functional inequalities (Poincaré,
logarithmic Sobolev etc.) to solve two problems. First, we study an
inhomogeneous diffusion, akin to the discrete simulated annealing
algorithm, in the spirit of a paper by L. Miclo. We show that this
diffusion converges under weaker hypotheses than what was assumed in
previous work. In particular, the potential governing the drift is
allowed to grow very slowly at infinity. In a second part, we turn to
a model of statistical mechanics with unbounded spins, recently
studied by T. Bodineau and B. Helffer, N. Yoshida and G. Royer (among
others). We clarify links between mixing properties, uniqueness of the
Gibbs measure, and functional inequalities. We show in particular that
the infinite volume tempered Gibbs measure is unique, provided that
the finite volume measures for one boundary condition satisfy a
Beckner inequality.
Dans cette thèse, nous utilisons différentes inégalités fonctionnelles
(Poincaré, Sobolev logarithmique, etc.) pour étudier deux questions.
Nous appliquons d'abord des inégalités affaiblies à l'étude d'une
diffusion inhomogène, analogue continu de l'algorithme de recuit
simulé, dans la lignée d'un travail de L. Miclo. Nous montrons un
résultat de convergence de la diffusion, sous des hypothèses plus
faibles que celles posées précédemment : le potentiel dans lequel la
diffusion évolue peut croître très lentement à l'infini.
Dans le cadre d'un modèle de mécanique statistique à spins non-bornés,
en nous basant sur des résultats de T. Bodineau et B. Helffer, N. Yoshida
et G. Royer, nous éclaircissons ensuite les liens entre différentes
inégalités fonctionnelles, des propriétés de mélange et l'unicité de
la mesure de Gibbs en volume infini. Nous montrons en particulier
l'unicité si les mesures en volume fini et pour une seule condition
aux bords vérifient uniformément une inégalité de Beckner.
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Dates and versions

tel-00114033 , version 1 (08-01-2007)

Identifiers

  • HAL Id : tel-00114033 , version 1

Cite

Pierre-André Zitt. Applications d'inégalités fonctionnelles à la mécanique statistique et au recuit simulé. Mathématiques [math]. Université de Nanterre - Paris X, 2006. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00114033⟩
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