Contributions to the certification of computations in R : theory, proofs, implementation - Archive ouverte HAL Access content directly
Theses Year : 2006

Contributions to the certification of computations in R : theory, proofs, implementation

Contributions à la certification des calculs dans R : théorie, preuves, programmation

(1)
1
Assia Mahboubi
  • Function : Author
  • PersonId : 833195

Abstract

The Coq system is a proof assistant based on the Calculus of Inductive
Constructions.
In this work, we propose to enhance the automation of this system by
providing a reflexive and complete decision procedure for the first
order theory of real numbers.
The Type Theory implemented by the Coq system comprises a
typed functional programming language, which we have used to
implement a Cylindrical Algebraic Decomposition algorithm (CAD). This
algorithm computes a partition of the space into sign-invariant,
semi-algebraic cells for the polynomials of a given family. Hence it
allows to decide all the formulae of this theory.
Then we have to prove formally the correctness of the algorithm and of the
related decision procedure, using the Coq proof assistant.
This work includes a library for certified polynomial arithmetic and
a significant part of the formal proof of correctness of the sub-resultants
algorithm. This last algorithm allows to compute efficiently the
greatest common divisor of polynomials with coefficients in a ring,
and in particular of multivariate polynomials.
We also propose a reflexive tactic for deciding equalities in ring
and semi-ring structures, which enhances the performances of the tool
previously available in the system by taking benefit of the
computational abilities of the system.
In a last part, we study the computational content of a constructive
proof of an elementary lemma of real analysis, called principle of
open induction.
Le logiciel Coq est un assistant à la preuve basé sur le Calcul des
Constructions Inductives.
Dans cette thèse nous proposons d'améliorer l'automatisation de ce
système en le dotant d'une procédure de décision réflexive et complète
pour la théorie du premier ordre de l'arithmétique réelle.
La théorie des types implémentée par le système Coq comprend un
langage fonctionnel typé dans lequel nous avons programmé un
algorithme de Décomposition Algébrique Cylindrique (CAD). Cet
algorithme calcule une partition de l'espace en cellules
semi-algébriques sur lesquelles tous les polynômes d'une famille donnée
ont un signe constant et permet ainsi de décider les formules de cette théorie.
Il s'agit ensuite de prouver la correction de l'algorithme et de la
procédure de décision associée avec l'assistant à la preuve Coq.
Ce travail comprend en particulier une librairie d'arithmétique polynomiale
certifiée et une partie significative de la preuve formelle de correction de
l'algorithme des sous-résultants. Ce dernier algorithme permet de calculer
efficacement le plus grand commun diviseur de polynômes à coefficients dans un
anneau, en particulier à plusieurs variables.
Nous proposons également une tactique réflexive de décision des égalités dans les
structures d'anneau et de semi-anneaux qui améliore les performances de l'outil
déjà disponible et augmente son spectre d'action en exploitant les possibilités de
calcul du système.
Dans une dernière partie, nous étudions le contenu calculatoire d'une preuve
constructive d'un lemme élémentaire d'analyse réelle, le principe d'induction
ouverte.
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Dates and versions

tel-00117409 , version 1 (01-12-2006)

Identifiers

  • HAL Id : tel-00117409 , version 1

Cite

Assia Mahboubi. Contributions à la certification des calculs dans R : théorie, preuves, programmation. Génie logiciel [cs.SE]. Université Nice Sophia Antipolis, 2006. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00117409⟩

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