Processus empiriques, estimation non paramétrique et données censurées.
Empirical process, nonparametric estimation and censored data.
Résumé
The empirical process theory is a main topic is statistics, since it is involved in most of the general limit results dealing with random samples. In particular, uniform laws of the logarithm enabled to systematically handle the sup-norm convergence of kernel estimates. In this work, we first established uniform functional laws of the logarithm for the increments of the normed sample quantile process, enabling the derivation of new properties for k-nearest neighbors estimates. Similar results are obtained for the increments of the Kaplan-Meier empirical process, leading to uniform laws of the logarithm for both density and hazard rate estimates in presence of right-censoring. Turning our attention to the multivariate regression function, uniform-in-bandwidth laws of the logarithm are obtained for kernel estimates, especially in the censored case. Finally, we proposed an estimate of the censored regression function under the additive model assumption, enabling to get round the well-known curse of dimensionality. This estimate is essentially based on the marginal integration method.
La théorie des processus empiriques joue un rôle central en statistique, puisqu'elle concerne l'ensemble des résultats limites généraux se rapportant aux échantillons aléatoires. En particulier, des lois uniformes du logarithme ont permis d'aborder de manière systématique la convergence en norme sup des estimateurs à noyau. Dans cette thèse, nous obtenons premièrement des lois fonctionnelles uniformes du logarithme pour les incréments du processus des quantiles normé, qui permettent d'établir des propriétés nouvelles des estimateurs basés sur les k-plus proches voisins. Le même type de résultat est ensuite obtenu pour les incréments du processus empirique de Kaplan-Meier, conduisant naturellement à des lois du logarithme uniformes pour des estimateurs de la densité et du taux de mortalité en présence de censure à droite. Dans le cas de la régression multivariée, des lois analogues sont obtenues pour des estimateurs à noyau, notamment dans le cas censuré. Enfin, nous développons un estimateur non paramétrique de la régression sous l'hypothèse du modèle additif dans le cas de censure à droite, permettant de se défaire du fléau de la dimension. Cet estimateur repose essentiellement sur la méthode d'intégration marginale.
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