Calcul stochastique via régularisation et applications financières
Stochastic calculus via regularization and applications to finance
Résumé
In the first part of this thesis we apply stochastic calculus via regularization to model financial markets when the price of the risky asset is not a semimartingale. The lack of the semimartingale property is justified if arbitrage is possible among simple predictable strategies. That is the case if the investor is an insider or the class A of admissible strategies is restricted. We assume that prices only have finite quadratic variation. That assumption is verified if the risky asset price itself has to be admitted in the class of all admissible strategies. We provide examples of self-financing strategies and we introduce the notion of A-martingale process. A calculus with respect those processes is developed. We show that the no-arbitrage condition is recovered if the price process is an A-martingale. We face some problems such as viability, hedging and utility maximization.
The second part of the thesis is devoted to the study of a one-dimensional stochastic differential equation driven by a strong cubic variation process and a semimartingale. The implementation of our method leads us to improve some results about stochastic calculus via regularization. In particular an Ito-Wentzell type formula related to finite cubic variation processes is
established and the structure of weak Dirichlet processes is clarified when the underlying filtration is Brownian.
Our approach applies to prove existence and uniqueness when the driven process is Hölder continuous in space. Using a Ito formula for reversible semimartingale we prove existence of a solution when the equation is driven by a Brownian motion and the diffusion coefficient is only continuous
The second part of the thesis is devoted to the study of a one-dimensional stochastic differential equation driven by a strong cubic variation process and a semimartingale. The implementation of our method leads us to improve some results about stochastic calculus via regularization. In particular an Ito-Wentzell type formula related to finite cubic variation processes is
established and the structure of weak Dirichlet processes is clarified when the underlying filtration is Brownian.
Our approach applies to prove existence and uniqueness when the driven process is Hölder continuous in space. Using a Ito formula for reversible semimartingale we prove existence of a solution when the equation is driven by a Brownian motion and the diffusion coefficient is only continuous
Dans la première partie de cette thèse nous appliquons le calcul via régularisation à l'étude d'un marché où le processus des prix d'un actif risqué n'est pas une semimartingale mais simplement à variation quadratique finie. Cette condition est réalisée lorsque le prix de l'actif est admis dans la classe A de toutes les stratégies admissibles, et devient réaliste si la condition de non-arbitrage sur l'ensemble de toutes les stratégies simples prévisibles n'est pas plausible. Cette situation est vérifiée, par exemple, lorsque l'agent est un initié ou si A est restreinte.
Nous fournissons des exemples de portefeuilles autofinancés et introduisons une notion de A-martingale. Un calcul relatif à celle-ci est développé. La condition de non-arbitrage parmi toutes les stratégies dans A est récupérée si le processus des prix de l'actif risqué est une A-martingale.
Nous abordons le problème de la viabilité du marché, de la couverture et de la maximisation de l'utilité de la richesse terminale.
La deuxième partie de la thèse est consacrée à l'étude d'une équation différentielle stochastique unidimensionnelle dirigée par une semimartingale mélangée à un processus à variation cubique finie.
Nous proposons une méthode qui repose sur une transformation réduisant le coefficient de diffusion à 1.
Le développement de la méthode utilisée nous conduit à des résultats significatifs dans l'analyse du calcul via régularisation.
En particulier, une formule de type Ito-Wentzell relative aux processus à variation cubique finie est
établie et la structure des processus weak-Dirichlet par rapport à la filtration brownienne est clarifiée.
Nous démontrons, par une approche similaire, l'existence et l'unicité d'une équation dirigée par un processus hölder-continu dans l'espace. En utilisant une formule d'Ito pour les semimartingales réversibles nous prouvons l'existence d'une solution lorsque le processus dirigeant l'équation est le mouvement brownien et le coefficient de diffusion est juste continu
Nous fournissons des exemples de portefeuilles autofinancés et introduisons une notion de A-martingale. Un calcul relatif à celle-ci est développé. La condition de non-arbitrage parmi toutes les stratégies dans A est récupérée si le processus des prix de l'actif risqué est une A-martingale.
Nous abordons le problème de la viabilité du marché, de la couverture et de la maximisation de l'utilité de la richesse terminale.
La deuxième partie de la thèse est consacrée à l'étude d'une équation différentielle stochastique unidimensionnelle dirigée par une semimartingale mélangée à un processus à variation cubique finie.
Nous proposons une méthode qui repose sur une transformation réduisant le coefficient de diffusion à 1.
Le développement de la méthode utilisée nous conduit à des résultats significatifs dans l'analyse du calcul via régularisation.
En particulier, une formule de type Ito-Wentzell relative aux processus à variation cubique finie est
établie et la structure des processus weak-Dirichlet par rapport à la filtration brownienne est clarifiée.
Nous démontrons, par une approche similaire, l'existence et l'unicité d'une équation dirigée par un processus hölder-continu dans l'espace. En utilisant une formule d'Ito pour les semimartingales réversibles nous prouvons l'existence d'une solution lorsque le processus dirigeant l'équation est le mouvement brownien et le coefficient de diffusion est juste continu