Statistical investigation of biological sequences and convergence of martingales
Etude statistique de séquences biologiques et convergence de martingales
Résumé
The Chaos Game Representation is a dynamical system
which maps a sequence of letters taken from a finite alphabet onto an empirical measure on a set. We show how the CGR can be used to
characterize the
order of an homogeneous Markov chain and to define a new family of tests.
Then we propose a construction of Digital Search Trees, inspired
from the CGR, by successively inserting all the returned prefixes of a Markov
chain. We give the asymptotic behavior of the critical lengths of paths, which
turns out to be, at first order, the same one as in the case of DST built from
independent Markov chains.
A last part deals with properties of almost sure convergence of vectorial
martingales. Under suitable regularity conditions on the
growing process, we establish the convergence of normalized moments of all
orders in the almost sure central limit theorem. The results are
applied to the cumulated errors of estimation and
prediction in linear regression models and branching processes.
which maps a sequence of letters taken from a finite alphabet onto an empirical measure on a set. We show how the CGR can be used to
characterize the
order of an homogeneous Markov chain and to define a new family of tests.
Then we propose a construction of Digital Search Trees, inspired
from the CGR, by successively inserting all the returned prefixes of a Markov
chain. We give the asymptotic behavior of the critical lengths of paths, which
turns out to be, at first order, the same one as in the case of DST built from
independent Markov chains.
A last part deals with properties of almost sure convergence of vectorial
martingales. Under suitable regularity conditions on the
growing process, we establish the convergence of normalized moments of all
orders in the almost sure central limit theorem. The results are
applied to the cumulated errors of estimation and
prediction in linear regression models and branching processes.
Le système dynamique Chaos Game Representation associe une suite de lettres dans un alphabet fini, une mesure empirique sur un ensemble. Fournit-elle plus d'information
que les méthodes de comptage de mots classiques ? A
partir d'une caractérisation basée sur la CGR, on propose une nouvelle famille de
tests donnant l'ordre d'une chaîne de Markov homogène.
On définit ensuite une construction d'arbres digitaux de recherche,
inspirés par la CGR, en insérant successivement les préfixes retournés d'une chaîne de Markov. On montre que les longueurs des branches critiques se comportent, au premier ordre, comme si les
séquences insérées étaient indépendantes entre elles.
La dernière partie est consacrée à l'étude de la convergence presque sûre des moments normalisés de tout ordre de martingales vectorielles dans le théorème de la limite centrale
presque sûr. Les résultats sont appliqués aux erreurs d'estimation et de prédiction dans les régressions linéaires et les processus de branchement.
que les méthodes de comptage de mots classiques ? A
partir d'une caractérisation basée sur la CGR, on propose une nouvelle famille de
tests donnant l'ordre d'une chaîne de Markov homogène.
On définit ensuite une construction d'arbres digitaux de recherche,
inspirés par la CGR, en insérant successivement les préfixes retournés d'une chaîne de Markov. On montre que les longueurs des branches critiques se comportent, au premier ordre, comme si les
séquences insérées étaient indépendantes entre elles.
La dernière partie est consacrée à l'étude de la convergence presque sûre des moments normalisés de tout ordre de martingales vectorielles dans le théorème de la limite centrale
presque sûr. Les résultats sont appliqués aux erreurs d'estimation et de prédiction dans les régressions linéaires et les processus de branchement.
Domaines
Mathématiques [math]
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