Taylor models to extend the use and certification of interval arithmetic
in a proof checker
Utilisation et certification de l'arithmétique d'intervalles dans un assistant de preuves
Résumé
Nowadays, more and more calculations, including monitoring and control, are done by software. Our goal is to formally prove the correctness of some numerical calculations by using on computers some tools that have long been guaranteed by human beings like interval calculations, and particularly Taylor models calculations. Yet such theoretical tools are totally unknown to formal proof checkers.
This thesis presents the construction of a library of Taylor models for PVS proof checker. We have developed addition, subtraction, multiplication by a scalar, multiplication, square, power and square root operations on Taylor models. We have also developed the exponential, sine, arctangent and hyperbolic sine and cosine on Taylor models. We have proven in PVS that the operations and functions defined in our library preserve the containment property. To the best of our knowledge, such formal proofs have never been done for the implementations of Taylor models.
We have developed a PVS strategy called containment to prove the containment property of Taylor models built from the operations and functions defined. We have also developed another strategy called taylors to automatically certify inequalities and bound expressions. When a proof checker is used to establish an inequality, it can be necessary to guide the proof checker step by step during the proof. For this reason, users frequently don't do the proof. Then, our work, that simplifies the proof of inequalities and expressions boundaries, is incentive to the use of formal proof checkers.
This work can be used to construct Taylor models of expressions, derive more or less accurate bounds for arithmetic expressions, certify inequalities and bound expressions. We show with two applications that our method for verifying expressions in a proof checker allows us to formally prove some expressions that appear in life critical pieces of software.
This thesis presents the construction of a library of Taylor models for PVS proof checker. We have developed addition, subtraction, multiplication by a scalar, multiplication, square, power and square root operations on Taylor models. We have also developed the exponential, sine, arctangent and hyperbolic sine and cosine on Taylor models. We have proven in PVS that the operations and functions defined in our library preserve the containment property. To the best of our knowledge, such formal proofs have never been done for the implementations of Taylor models.
We have developed a PVS strategy called containment to prove the containment property of Taylor models built from the operations and functions defined. We have also developed another strategy called taylors to automatically certify inequalities and bound expressions. When a proof checker is used to establish an inequality, it can be necessary to guide the proof checker step by step during the proof. For this reason, users frequently don't do the proof. Then, our work, that simplifies the proof of inequalities and expressions boundaries, is incentive to the use of formal proof checkers.
This work can be used to construct Taylor models of expressions, derive more or less accurate bounds for arithmetic expressions, certify inequalities and bound expressions. We show with two applications that our method for verifying expressions in a proof checker allows us to formally prove some expressions that appear in life critical pieces of software.
De plus en plus de calculs de surveillance, contrôle etc. sont effectués de façon logicielle. Notre objectif est de prouver formellement des calculs numériques qui offrent déjà un premier niveau de garantie sur leurs résultats, comme des calculs par intervalles, et en particulier des calculs avec des modèles de Taylor.
Cette thèse présente la construction d'une bibliothèque de modèles de Taylor pour l'assistant de preuves PVS. Nous avons développé les modèles de Taylor pour les opérations d'addition, soustraction, multiplication par un scalaire, multiplication, élévation au carré, puissance et racine carrée. Nous avons également développé les modèles de Taylor pour l'exponentielle, le sinus, l'arctangente et les sinus et cosinus hyperboliques. Nous avons démontré dans PVS que les opérations et fonctions définies dans notre bibliothèque préservent la propriété d'inclusion, travail de preuve qui n'avait pas été fait auparavant dans les implantations des modèles de Taylor.
Nous avons développé une stratégie PVS pour certifier des inégalités ou bornes d'expressions. Quand on utilise un assistant de preuves pour démontrer une inégalité, il peut être nécessaire de guider l'assistant pas à pas dans la démonstration. Pour cette raison, les utilisateurs effectuent rarement la démonstration. Par conséquent, simplifier la façon de prouver les inégalités et bornes d'expressions facilite l'utilisation de PVS.
Notre bibliothèque peut être utilisée pour construire des modèles de Taylor pour des expressions données, pour dériver des bornes plus ou moins précises pour des expressions arithmétiques et également pour certifier des inégalités ou bornes d'expressions. Disposer d'une méthode pour vérifier des expressions dans un assistant de preuves permet de vérifier certaines expressions qui apparaissent dans des logiciels de missions critiques.
Pour résumer, nous avons développé une bibliothèque de modèles de Taylor en PVS qui comprend les opérations arithmétiques et certaines fonctions élémentaires. Nous avons démontré la propriété d'inclusion pour les opérations et fonctions développées. Nous avons développé une stratégie appelée containment pour démontrer la propriété d'inclusion des modèles de Taylor construits à partir des opérations et fonctions précédemment définies. Nous avons développé une stratégie appelée taylors pour prouver des inégalités en utilisant les modèles de Taylor. Nous avons illustré sur deux applications l'intérêt de ces développements.
Cette thèse présente la construction d'une bibliothèque de modèles de Taylor pour l'assistant de preuves PVS. Nous avons développé les modèles de Taylor pour les opérations d'addition, soustraction, multiplication par un scalaire, multiplication, élévation au carré, puissance et racine carrée. Nous avons également développé les modèles de Taylor pour l'exponentielle, le sinus, l'arctangente et les sinus et cosinus hyperboliques. Nous avons démontré dans PVS que les opérations et fonctions définies dans notre bibliothèque préservent la propriété d'inclusion, travail de preuve qui n'avait pas été fait auparavant dans les implantations des modèles de Taylor.
Nous avons développé une stratégie PVS pour certifier des inégalités ou bornes d'expressions. Quand on utilise un assistant de preuves pour démontrer une inégalité, il peut être nécessaire de guider l'assistant pas à pas dans la démonstration. Pour cette raison, les utilisateurs effectuent rarement la démonstration. Par conséquent, simplifier la façon de prouver les inégalités et bornes d'expressions facilite l'utilisation de PVS.
Notre bibliothèque peut être utilisée pour construire des modèles de Taylor pour des expressions données, pour dériver des bornes plus ou moins précises pour des expressions arithmétiques et également pour certifier des inégalités ou bornes d'expressions. Disposer d'une méthode pour vérifier des expressions dans un assistant de preuves permet de vérifier certaines expressions qui apparaissent dans des logiciels de missions critiques.
Pour résumer, nous avons développé une bibliothèque de modèles de Taylor en PVS qui comprend les opérations arithmétiques et certaines fonctions élémentaires. Nous avons démontré la propriété d'inclusion pour les opérations et fonctions développées. Nous avons développé une stratégie appelée containment pour démontrer la propriété d'inclusion des modèles de Taylor construits à partir des opérations et fonctions précédemment définies. Nous avons développé une stratégie appelée taylors pour prouver des inégalités en utilisant les modèles de Taylor. Nous avons illustré sur deux applications l'intérêt de ces développements.
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