Packings and coverings in graphs
Empilements et recouvrements en théorie des graphes
Résumé
In this thesis, we study two problems largely studied in graph theory over the last three decades : error correcting codes and domination.
First, we study two generalizations of error correcting codes: perfect codes on mixed alphabets and weighted perfect codes of radius one. These problems have been largely studied in the Hamming metric.
We study them in the Lee metric and prove both existence and inexistence results.
We also show that domination and codes satisfy strong duality on the square grid for balls without center.
Then, we study domination in products of graphs. Since Vizing conjectured in 1968 that domination is supermultiplicative on the cartesian product, relations between variants of the domination number of some product of graphs and of its factors drew much attention. After giving new bounds on the total domination number of the direct product of graphs, we determine the power domination number of products of paths. Then, we prove a Vizing like conjecture for upper total domination in cartesian product.
Next, we study domination on a structural point of view. Carrying on a study from Favaron and Henning, we give upper bounds on the paired-domination number of star-free graphs for any number of branches and of $P_5$-free graphs.
We also give infinite families of graphs for which these bounds are sharp. We finally compare upper total and upper paired-domination, two variations on domination which attracted quite some attention recently, and we give precise bounds for trees.
First, we study two generalizations of error correcting codes: perfect codes on mixed alphabets and weighted perfect codes of radius one. These problems have been largely studied in the Hamming metric.
We study them in the Lee metric and prove both existence and inexistence results.
We also show that domination and codes satisfy strong duality on the square grid for balls without center.
Then, we study domination in products of graphs. Since Vizing conjectured in 1968 that domination is supermultiplicative on the cartesian product, relations between variants of the domination number of some product of graphs and of its factors drew much attention. After giving new bounds on the total domination number of the direct product of graphs, we determine the power domination number of products of paths. Then, we prove a Vizing like conjecture for upper total domination in cartesian product.
Next, we study domination on a structural point of view. Carrying on a study from Favaron and Henning, we give upper bounds on the paired-domination number of star-free graphs for any number of branches and of $P_5$-free graphs.
We also give infinite families of graphs for which these bounds are sharp. We finally compare upper total and upper paired-domination, two variations on domination which attracted quite some attention recently, and we give precise bounds for trees.
Dans cette thèse, nous étudions deux problèmes de théorie des graphes largement étudiés ces trois dernières décennies: les codes correcteurs d'erreur et la domination.
Nous étudions d'abord deux généralisations des codes correcteurs d'erreurs : les codes parfaits sur des alphabets mixtes et les codes pondérés de rayon un. Ces problèmes ont beaucoup été étudiés sur la métrique de Hamming.
Nous les étudions dans la métrique de Lee, et nous montrons des résultats aussi bien d'existence que d'inexistence.
Nous montrons aussi que le rapport de dualité entre la domination et les codes est fort pour la grille carrée lorsque l'on considère des boules sans le centre.
Puis, nous étudions la domination dans les produits de graphes. Depuis que Vizing a conjecturé en 1968 que la domination est surmultiplicative pour le produit cartésien de graphes, les relations entre des variantes du nombre de domination d'un produit de graphes et ses facteurs ont attiré beaucoup d'attention. Après avoir donné quelques bornes sur le nombre de domination totale du produit direct de graphes, nous déterminons le nombre de domination de puissance des produits de chemins.
Puis, nous montrons une conjecture ``à la Vizing'' pour le nombre de domination totale supérieure du produit cartésien.
Ensuite, nous étudions la domination avec une approche structurelle. En continuation de l'étude de Favaron et Henning, nous fournissons plusieurs bornes supérieures sur le nombre de paire-domination des graphes sans étoiles, pour chaque nombre de branches, et des graphes sans P_5. Nous proposons aussi des familles infinies de graphes pour lesquels ces bornes sont atteintes.
Enfin, nous comparons la domination totale supérieure et la paire-domination supérieure, deux variantes de la domination qui ont attiré l'attention récemment, et nous donnons des bornes précises pour les arbres.
Nous étudions d'abord deux généralisations des codes correcteurs d'erreurs : les codes parfaits sur des alphabets mixtes et les codes pondérés de rayon un. Ces problèmes ont beaucoup été étudiés sur la métrique de Hamming.
Nous les étudions dans la métrique de Lee, et nous montrons des résultats aussi bien d'existence que d'inexistence.
Nous montrons aussi que le rapport de dualité entre la domination et les codes est fort pour la grille carrée lorsque l'on considère des boules sans le centre.
Puis, nous étudions la domination dans les produits de graphes. Depuis que Vizing a conjecturé en 1968 que la domination est surmultiplicative pour le produit cartésien de graphes, les relations entre des variantes du nombre de domination d'un produit de graphes et ses facteurs ont attiré beaucoup d'attention. Après avoir donné quelques bornes sur le nombre de domination totale du produit direct de graphes, nous déterminons le nombre de domination de puissance des produits de chemins.
Puis, nous montrons une conjecture ``à la Vizing'' pour le nombre de domination totale supérieure du produit cartésien.
Ensuite, nous étudions la domination avec une approche structurelle. En continuation de l'étude de Favaron et Henning, nous fournissons plusieurs bornes supérieures sur le nombre de paire-domination des graphes sans étoiles, pour chaque nombre de branches, et des graphes sans P_5. Nous proposons aussi des familles infinies de graphes pour lesquels ces bornes sont atteintes.
Enfin, nous comparons la domination totale supérieure et la paire-domination supérieure, deux variantes de la domination qui ont attiré l'attention récemment, et nous donnons des bornes précises pour les arbres.
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