Differential λ-calculus and classical logic : their computational interactions
λ-calcul différentiel et logique classique : interactions calculatoires
Résumé
We study the possible interactions between Ehrhard-Regnier's differential λ-calculus and pure calculi associated with classical logic : Parigot's λµ-calculus and Herbelin's λ-bar-µ-calculus. The impetus to this study is given by the respective decompositions of these calculi in particular extensions of Girard's linear logic.
We first provide a unified framework for these extensions, as a variant of Lafont's interaction nets. We recall well known definitions and results, either from litterature or from folklore, rephrased in this setting : in particular, we explicit translations of λµ-calculus and λ-bar-µ-calculus into Laurent's polarized proof nets and a translation of the finitary fragment of differential λ-calculus into Ehrhard-Regnier's differential interaction nets.
In a second part, we introduce polarized differential nets (PDN) : these are obtained as an extension of differential nets by a polarization scheme à la Laurent. The new reduction rules are justified by the properties of a denotational model of both polarized nets and differential nets.
Last we proceed to the introduction of three pure term calculi, each corresponding to a readback from the dynamics of PDN, through a Curry-Howard-Girard decomposition : a differential λµ-calculus, which accounts for the union of polarized nets and interaction nets; an extension of λ-bar-µ-calculus involving a convolution product on stacks, which provides a computational meaning to the structure of bialgebra induced on polarized types by the reduction of PDN ; last, a differential λ-bar-µ-calculus encompassing all of the dynamics of PDN.
We first provide a unified framework for these extensions, as a variant of Lafont's interaction nets. We recall well known definitions and results, either from litterature or from folklore, rephrased in this setting : in particular, we explicit translations of λµ-calculus and λ-bar-µ-calculus into Laurent's polarized proof nets and a translation of the finitary fragment of differential λ-calculus into Ehrhard-Regnier's differential interaction nets.
In a second part, we introduce polarized differential nets (PDN) : these are obtained as an extension of differential nets by a polarization scheme à la Laurent. The new reduction rules are justified by the properties of a denotational model of both polarized nets and differential nets.
Last we proceed to the introduction of three pure term calculi, each corresponding to a readback from the dynamics of PDN, through a Curry-Howard-Girard decomposition : a differential λµ-calculus, which accounts for the union of polarized nets and interaction nets; an extension of λ-bar-µ-calculus involving a convolution product on stacks, which provides a computational meaning to the structure of bialgebra induced on polarized types by the reduction of PDN ; last, a differential λ-bar-µ-calculus encompassing all of the dynamics of PDN.
Cette thèse de théorie de la démonstration étudie les interactions entre le λ-calcul différentiel d'Ehrhard et Regnier d'un côté, et certaines émanations calculatoires de la logique classique (le λμ-calcul de Parigot et le λ-barre-μ-calcul de Herbelin) de l'autre. L'étude est initiée et guidée par la décomposition de ces calculs dans des extensions de la logique linéaire de Girard.
Dans une première partie, on définit un cadre commun pour ces extensions, dans le formalisme des réseaux d'interaction de Lafont, et on y rappelle des résultats de la littérature ou du folklore. On donne en particulier la traduction du λμ-calcul et du λ-barre-μ-calcul dans les réseaux polarisés de Laurent et celle du fragment finitaire du λ-calcul différentiel dans les réseaux différentiels d'Ehrhard et Regnier.
Dans la deuxième partie, on introduit les réseaux différentiels polarisés (RDP), comme l'extension par une polarisation à la Laurent des réseaux différentiels. La pertinence des règles de réduction nouvelles est soulignée par l'étude d'un modèle dénotationnel commun aux réseaux différentiels et aux réseaux polarisés.
Enfin, on présente trois calculs de termes, chacun pouvant être considéré comme une lecture en arrière de tout ou partie des interactions définies par les RDP : un λμ-calcul différentiel, qui correspond à la réunion des réseaux différentiels et des réseaux polarisés ; un λ-barre-μ-calcul avec produit de convolution sur les piles, qui fait intervenir la structure de bigèbre des types polarisés introduite dans les RDP, mais pas la dérivée ; enfin, un λ-barre-μ-calcul différentiel qui développe toute l'expressivité des RDP.
Dans une première partie, on définit un cadre commun pour ces extensions, dans le formalisme des réseaux d'interaction de Lafont, et on y rappelle des résultats de la littérature ou du folklore. On donne en particulier la traduction du λμ-calcul et du λ-barre-μ-calcul dans les réseaux polarisés de Laurent et celle du fragment finitaire du λ-calcul différentiel dans les réseaux différentiels d'Ehrhard et Regnier.
Dans la deuxième partie, on introduit les réseaux différentiels polarisés (RDP), comme l'extension par une polarisation à la Laurent des réseaux différentiels. La pertinence des règles de réduction nouvelles est soulignée par l'étude d'un modèle dénotationnel commun aux réseaux différentiels et aux réseaux polarisés.
Enfin, on présente trois calculs de termes, chacun pouvant être considéré comme une lecture en arrière de tout ou partie des interactions définies par les RDP : un λμ-calcul différentiel, qui correspond à la réunion des réseaux différentiels et des réseaux polarisés ; un λ-barre-μ-calcul avec produit de convolution sur les piles, qui fait intervenir la structure de bigèbre des types polarisés introduite dans les RDP, mais pas la dérivée ; enfin, un λ-barre-μ-calcul différentiel qui développe toute l'expressivité des RDP.
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