Quasi-morphismes et difféomorphismes hamiltoniens - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2008

Quasi-morphisms and Hamiltonian diffeomorphisms

Quasi-morphismes et difféomorphismes hamiltoniens

Pierre Py

Résumé

In this work, we study various invariants of algebraic and dynamical nature, defined on the group of Hamiltonian diffeomorphisms of a closed oriented surface. Occasionally we will also consider the group of Hamiltonian diffeomorphisms of certain symplectic manifolds of higher dimension. These invariants are constructed in the spirit of the classical Poincaré rotation number, or of the rotation vectors associated to diffeomorphisms of surfaces. Moreover all these invariants are related to the theory of bounded cohomology.

In the first chapter, we construct homogeneous quasi-morphisms on the group of Hamiltonian diffeomorphisms of a closed oriented surface of positive genus, which are homomorphisms when restricted to the subgroup of Hamiltonian diffeomorphisms supported in any open set diffeomorphic to a disc. These constructions are motivated by a question of Entov and Polterovich. In the second chapter, we construct a quasi-morphism on the universal cover of the group of Hamiltonian diffeomorphisms of a monotone symplectic manifold.

The third chapter contains some results concerning area preserving actions on surfaces of lattices in semisimple groups. In the spirit of the "Zimmer program" we show how the existence of many quasi-morphisms, combined with some vanishing result in bounded cohomology, might be useful to exclude the existence of actions of higher rank lattices. The last chapter contains some remarks around Hofer's metric on the group of Hamiltonian diffeomorphisms.
Dans ce travail, nous étudions différents invariants de nature algébrique et dynamique définis sur le groupe des difféomorphismes hamiltoniens d'une surface fermée orientée. Occasionnellement, nous considérerons également le groupe des difféomorphismes hamiltoniens de certaines variétés symplectiques de dimension supérieure. Ces invariants peuvent être vus comme des généralisations du nombre de rotation de Poincaré, et des vecteurs de rotations associés aux difféomorphismes des surfaces. D'autre part, tous ces invariants sont reliés à la théorie de la cohomologie bornée.

Dans le premier chapitre nous construisons des quasi-morphismes sur le groupe des difféomorphismes hamiltoniens d'une surface de genre strictement positif, qui sont des homomorphismes en restriction au sous-groupe des difféomorphismes à support dans un ouvert difféomorphe à un disque. Ces constructions sont motivées par une question de Entov et Polterovich. Dans le second chapitre nous construisons un quasi-morphisme défini sur le revêtement universel du groupe des difféomorphismes hamiltoniens d'une variété symplectique monotone.

Le troisième chapitre contient quelques résultats concernant les actions préservant l'aire sur les surfaces de réseaux dans les groupes de Lie semi-simples. Dans l'esprit du "programme de Zimmer", nous montrons comment l'existence de nombreux quasi-morphismes, combinée avec des théorèmes d'annulation en cohomologie bornée, pourrait être utile pour exclure l'existence d'actions de réseaux de rang supérieur. Le dernier chapitre contient quelques remarques autour de la distance de Hofer.
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Dates et versions

tel-00263607 , version 1 (12-03-2008)

Identifiants

  • HAL Id : tel-00263607 , version 1

Citer

Pierre Py. Quasi-morphismes et difféomorphismes hamiltoniens. Mathématiques [math]. Ecole normale supérieure de lyon - ENS LYON, 2008. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00263607⟩
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