Two-phase flows in heterogeneous porous media: modeling and analysis of the flows of the effects involved by the discontinuities of the capillary pressure. - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2008

Two-phase flows in heterogeneous porous media: modeling and analysis of the flows of the effects involved by the discontinuities of the capillary pressure.

Écoulements diphasiques en milieux poreux hétérogènes : modélisation et analyse des effets liés aux discontinuités de la pression capillaire.

Résumé

We consider the flow of a fluid made of oil and water in a heterogeneous porous medium, which is supposed to be a apposition of several homogeneous isotropic porous media. We are interested in the phenomena occurring at the interfaces between the different sub-media, and particularly if the capillary pressure is discontinuous w.r.t. the space.
We first deal with the case where some compatibility relations ensure that the capillary pressure connect in a strong sense. We prove the existence and the uniqueness of the weak solution. The existence result is obtained by proving the convergence of a Finite Volume scheme, while the uniqueness proof is based on the doubling variable technique.
In the following chapter, we deal with the case where no compatibility relation holds, so a new frame for the connection of the pressures is defined, using monotonous graphs. The existence of a weak solution is proven in the multidimensional case, while an uniqueness result, based on a uniform bound on the flux, is given for the one dimensional frame.
The results of the previous chapter are then adapted to numerical methods, that is Finite Volume schemes. It is shown that the discrete solution admits discrete bounded fluxes, and thus that it converge toward the unique solution involving bounded fluxes.
In the chapter 5 and 6, we study the case where the capillary pressure does not depend on the saturation any-more, but only on the porous medium. It is shown that is the orientation of the gravity forces and the capillary forces is the same, some entropy criterion are fulfilled by the solution at the interface. Reversly, if the forces are oriented in opposite senses, then non-classical shock occur at the interface, leading to the entrapment of the hydrocarbons.
On s'intéresse à l'écoulement d'un mélange d'eau et d'huile dans une matrice poreuse supposée hétérogène, et plus particulièrement apposition de différentes sous-matrices poreuses supposées homogènes. Si la modélisation et l'analyse des écoulements diphasiques dans des milieux poreux homogènes a fait l'objet de nombreuses études préalables, ce travail s'intéresse aux phénomènes liés aux forces provenant de la pression capillaire au niveau des interfaces entre des milieux différents.
Dans un premier temps, on suppose que l'on peut connecter les pressions au niveau des interfaces. Cela nécessite des hypothèses sur les profils de pression capillaire, afin que les raccords soient possibles. On démontre l'existence d'une solution faible du problème parabolique dégénéré obtenu par convergence d'une famille de solutions approchées obtenues à l'aide d'un schéma Volumes Finis. L'unicité est garantie, sous hypothèse sur les dégénérescence, par une méthode de dédoublement de variable aboutissant à un principe de contraction $L^1$.
La modélisation ne garantit pas forcément que le raccord des pressions capillaires aux interfaces soit possible. Dans le chapitre 3, on donne une condition de raccord graphique des pressions capillaires aux interfaces qui permet de traiter des cas beaucoup plus généraux. On montre que de le problème avec raccords graphiques admet une solution. Un résultat d'unicité et de contraction $L^1$ est donné dans le cas unidimensionnel.
Dans le chapitre 4, on montre la convergence d'une approximation Volumes Finis vers l'unique solution du problème unidimensionnel. Ce résultat utilise une borne uniforme sur les flux discrets, analogie discrète de la preuve dans le cas continue faite au chapitre précédent.
On étudie dans les chapitres 5 et 6 la limite des solutions lorsque la dépendance de la pression capillaire par rapport à l'inconnue saturation devient très faible, et que la pression capillaire ne dépend plus que du sous milieux poreux homogène. Il apparaît alors des phénomènes différents selon l'orientation des forces de gravité et de capillarité. Soit la solution su problème est la solution entropique d'une équation hyperbolique à flux discontinus, soit une solution faible, entropique à l'intérieur des sous-domaines homogènes, et laissant apparaître un choc non classique à l'interface.
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Dates et versions

tel-00335506 , version 1 (29-10-2008)
tel-00335506 , version 2 (19-12-2008)

Identifiants

  • HAL Id : tel-00335506 , version 2

Citer

Clément Cancès. Two-phase flows in heterogeneous porous media: modeling and analysis of the flows of the effects involved by the discontinuities of the capillary pressure.. Mathematics [math]. Université de Provence - Aix-Marseille I, 2008. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00335506v2⟩
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