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Thèse Année : 2008

On well generated triangulated categories

Sur les catégories triangulées bien engendrées

Marco Porta
  • Fonction : Auteur
  • PersonId : 855391

Résumé

This thesis explores the relation between module categories over small differential graded (abbreviated DG) categories on the one hand, and well generated triangulated categories on the other. In the first part, we construct the $\alpha$-continuous derived category D_\alpha A of a homotopically $\alpha$-cocomplete small DG category A, where $\alpha$ is a regular cardinal. This construction enjoys a useful and beautiful property which is the key technical result for proving the main theorem of the thesis. The categories D_\alpha A turn out to be the prototypes of the $\alpha$-compactly generated algebraic triangulated categories. Here algebraic means triangle equivalent to the stable category of a Frobenius category. The main result says that algebraic well generated categories are precisely those which are localizations of the derived category of some small DG category. This result is strongly reminiscent of a 1964 theorem of Gabriel and Popescu, which characterized the Grothendieck abelian categories as localizations of categories of modules over rings. It also gives a positive answer to Drinfeld?s question whether all well generated categories arise as localizations of compactly generated ones, for the class of algebraic triangulated categories. In the second part, we study the categories DA and D_\alpha A using the projective Quillen?s model category structure present on the category of DG modules. We introduce the subcategory of homotopically $\alpha$-compact cofibrant DG modules and we show that its homotopy category is precisely the $\alpha$-continuous derived category D_\alpha A. This enables us to give a second, completely different proof of the key technical result of the first part.
Cette thèse explore la relation entre les catégories de modules sur les catégories différentielles graduées (abrégées DG) petites, d'une part, et les catégories triangulées bien engendrées d'autre part. Dans la première partie, on construit la catégorie dérivée $\alpha$-continue D_\alpha A d'une catégorie DG $\alpha$-cocomplète petite A, où $\alpha$ est un cardinal régulier. Cette construction jouit d'une propriété très intéressante, qui est la clef pour démontrer le théorème principal de la thèse. Les catégories D_\alpha A s'avèrent être les prototypes des catégories triangulées algébriques à engendrement $\alpha$-compact. On entend par algébrique, équivalente, en tant que catégorie triangulée à la catégorie stable d'une catégorie de Frobenius. Le résultat principal établit que les catégories algébriques bien engendrées sont précisément celles qui sont des localisations de la catégorie dérivée d'une catégorie DG petite. Ce résultat rappelle beaucoup un théorème de Gabriel et Popescu de 1964, qui caractérise les catégories abéliennes de Grothendieck comme des localisations de catégories de modules sur des anneaux. Il donne aussi une réponse positive à une question de Drinfeld qui demandait si toutes les catégories triangulées bien engendrées sont des localisations de catégories triangulées à engendrement compact, pour la classe des catégories triangulées algébriques. Dans la deuxième partie, on étudie les catégories DA et D_\alpha A en utilisant la structure projective de catégories de modèles de Quillen présente sur la catégorie des DG modules. On introduit la sous-catégorie des DG modules cofibrants homotopiquement $\alpha$-compacts et on montre que sa catégorie homotopique est précisément la catégorie dérivée $\alpha$-continue D_\alpha A. Cela nous permet de donner une deuxième preuve, complètement différente du résultat-clef de la première partie.
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PhDthesis_finalversion_140108.pdf (557.52 Ko) Télécharger le fichier

Dates et versions

tel-00338033 , version 1 (10-11-2008)

Identifiants

  • HAL Id : tel-00338033 , version 1

Citer

Marco Porta. On well generated triangulated categories. Mathematics [math]. Université Paris-Diderot - Paris VII; Università degli studi di Milano, 2008. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00338033⟩

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