Signal approximation: variational approach and random models
Approximation des signaux: approches variationnelles et modèles aléatoires
Résumé
A probabilistic model and a variational method are being studied for sparse approximation.
The variational method use a L2 data term regularized by a mixed norm. These mixed norms are used to structure the sparsity. The resulted functionals can be minimized by iterative algorithms which convergence is proved. These mixed norms give estimates by "generalized thresholding operators". These operators are then modified to localize them or to introduce more persistence.
The probabilistic one uses a model a priori of signals as sparse random series of waveforms, with random coefficients chosen in an union of two orthonormal basis. The pdf of these coefficients involve two levels of randomness : the position in the time-frequency space, and the value. The study of analysis coefficients allows us to estimate the time-frequency maps by classification. The signal is then estimated by an orthogonal projection on these maps, and one obtains a decomposition into two layers and a residual.
The variational method use a L2 data term regularized by a mixed norm. These mixed norms are used to structure the sparsity. The resulted functionals can be minimized by iterative algorithms which convergence is proved. These mixed norms give estimates by "generalized thresholding operators". These operators are then modified to localize them or to introduce more persistence.
The probabilistic one uses a model a priori of signals as sparse random series of waveforms, with random coefficients chosen in an union of two orthonormal basis. The pdf of these coefficients involve two levels of randomness : the position in the time-frequency space, and the value. The study of analysis coefficients allows us to estimate the time-frequency maps by classification. The signal is then estimated by an orthogonal projection on these maps, and one obtains a decomposition into two layers and a residual.
Deux approches pour la décomposition parcimonieuse des signaux sont étudiées.
L'une utilise des méthodes variationnelles avec une attache aux données l2 pénalisée par une norme mixte permettant de structurer la parcimonie. Les fonctionnelles sont minimisées par des algorithmes itératifs dont la convergence est prouvée. Les normes mixtes donnent des estimations par des opérateurs de seuillage généralisés, qui ont été modifiés pour les localiser ou introduire de la persistance.
L'autre modélise les signaux comme combinaisons linéaires parcimonieuses d'atomes temps-fréquence choisis dans l'union de deux bases orthonormées, à coefficients aléatoires. La distribution de ces coefficients fait intervenir deux niveaux d'aléa : leur valeur et leur position dans leur espace temps-fréquence. L'étude des coefficients d'analyse permet une estimation des cartes temps-fréquence. La projection du signal sur ces cartes donne une décomposition en deux couches plus un résidu.
L'une utilise des méthodes variationnelles avec une attache aux données l2 pénalisée par une norme mixte permettant de structurer la parcimonie. Les fonctionnelles sont minimisées par des algorithmes itératifs dont la convergence est prouvée. Les normes mixtes donnent des estimations par des opérateurs de seuillage généralisés, qui ont été modifiés pour les localiser ou introduire de la persistance.
L'autre modélise les signaux comme combinaisons linéaires parcimonieuses d'atomes temps-fréquence choisis dans l'union de deux bases orthonormées, à coefficients aléatoires. La distribution de ces coefficients fait intervenir deux niveaux d'aléa : leur valeur et leur position dans leur espace temps-fréquence. L'étude des coefficients d'analyse permet une estimation des cartes temps-fréquence. La projection du signal sur ces cartes donne une décomposition en deux couches plus un résidu.
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