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Theses Year : 2008

Gaussian Graphical Models and Model Selection

Modèles graphiques gaussiens et sélection de modèles

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Abstract

This work is linked to the theories of non-parametric statistics, statistical learning, and spatial statistics.
Its goal is to provide and study statistical procedures for Gaussian graphical models. Graphical models have emerged as useful tools for modelling complex systems in many fields such as genomics or spatial analysis. The recent availability of a huge amount of data challenges us with new issues: the number of variables under study is possibly much larger than the sample size. This motivates the search for methods that remain valid in a high-dimensional setting. In this setting, three main issues are considered: the goodness of fit test of the graph of a Gaussian graphical model, the graph estimation of a Gaussian graphical model, and the covariance estimation of a Gaussian graphical model or more generally of a Gaussian vector. Furthermore, we use graphical models to study the covariance estimation of a stationary Gaussian field on a lattice.

Our approach is based on the connection between Gaussian graphical model and linear regression with Gaussian design. This connection motivates the use of model selection techniques by penalization. The procedures introduced to analyze each of the four previous issues satisfy non-asymptotic oracle inequalities and are adaptive in the minimax sense. All these results still hold in a high-dimensional setting. The practical efficiency of the procedures is assessed on simulated and real-world data.
Cette thèse s'inscrit dans les domaines de la statistique non-paramétrique, de la théorie statistique de l'apprentissage et des statistiques spatiales. Son objet est la compréhension et la mise en oeuvre de méthodes d'estimation et de décision pour des modèles graphiques gaussiens. Ces outils probabilistes rencontrent un succès grandissant pour la modélisation de systêmes complexes dans des domaines aussi différents que la génomique ou l'analyse spatiale. L'inflation récente de la taille des données analysées rend maintenant nécessaire la construction de procédures statistiques valables en << grande dimension >>, c'est à dire lorsque le nombre de variables est potentiellement plus grand que le nombre d'observations. Trois problèmes généraux sont considérés dans cette thèse: le test d'adéquation d'un graphe à un modèle graphique gaussien, l'estimation du graphe d'un modèle graphique gaussien et l'estimation de la covariance d'un modèle graphique gaussien, ou plus généralement d'un vecteur gaussien. Suite à cela, nous étudions l'estimation de la covariance d'un champ gaussien stationnaire sur un réseau, sous l'angle de la modélisation graphique.

En utilisant le lien entre modèles graphiques et régression linéaire à plan d'expérience gaussien, nous développons une approche basée sur des techniques de sélection de modèles. Les procédures ainsi introduites sont analysés d'un point de vue non-asymptotique. Nous prouvons notamment des inégalités oracles et des propriétés d'adaptation au sens minimax valables en grande dimension. Les performances pratiques des méthodes statistiques sont illustrées sur des données simulées ainsi que sur des données réelles.
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tel-00352802 , version 1 (13-01-2009)

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  • HAL Id : tel-00352802 , version 1

Cite

Nicolas Verzelen. Gaussian Graphical Models and Model Selection. Mathematics [math]. Université Paris Sud - Paris XI, 2008. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00352802⟩
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