Foliated manifolds cohomology
Cohomologie des variétés feuilletées
Résumé
We associate to each foliated Morse function f on a measured foliation a longitudinal complex which computes the longitudinal cohomology introduced by A. Connes, as we prove. The q index space of this complex is given by the field $E^q=(l^2(C^q \cap L))_L$ , where C^q denotes the manifold of the q index longitudinal critical points of the generalized Morse function, and where L is a generic leaf. The differential $\delta^q:E^q \rightarrow E^{q+1}$ is defined by studying how the orientation of the unstable manifold is carried along a trajectory linking to a q index critical point and a q+1 index critical point. To prove that this complex computes the longitudinal cohomology, we show that it can be seen as the limit, when $\tau \rightarrow \infty$, of a foliated complex $(W^q_{\tau,L},d^q_{\tau,L})$ considered by A. Connes and T. Fack.
This extends to the foliated case a result of \emph{B. Helffer} et \emph{J. Sjörstrand}.
This extends to the foliated case a result of \emph{B. Helffer} et \emph{J. Sjörstrand}.
A toute fonction de Morse généralisée f sur un feuilletage mesuré, nous associons un complexe longitudinal dont nous montrons qu'il calcule la cohomologie longitudinale introduite par A. Connes. L'espace d'indice q de ce complexe est donné par le champ d'espaces $E^q=(l^2(C^q \cap L))_L$ , où C^q est la variété des points critiques longitudinaux d'indice q de f, et où L désigne la feuille générique . Les différentielles $\delta^q:E^q \rightarrow E^{q+1}$ expriment comment l'orientation de la variété instable se transporte le long d'une trajectoire du champ de gradient feuilleté reliant un point critique d'indice q à un point critique d'indice q+1. Pour montrer que ce complexe calcule la cohomologie longitudinale, nous l'identifions au complexe obtenu comme limite, lorsque tau tend vers l'infini, du complexe feuilleté $(W^q_{\tau,L},d^q_{\tau,L})$ considéré par A. Connes et T. Fack. Ce travail étend au cas des feuilletages celui de B. Helffer et J. Sjörstrand.
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