Analyzing dynamical system with discrete approaches. Application in number theory and molecular biology. - Archive ouverte HAL Access content directly
Habilitation À Diriger Des Recherches Year : 2008

Analyzing dynamical system with discrete approaches. Application in number theory and molecular biology.

Analyse de systèmes dynamiques par discrétisation. Exemples d'applications en théorie des nombres et en biologie moléculaire

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Abstract

Applications focus on several mathematical fields and molecular biology. Our purpose is to illustrate how one can couple algorithmic approaches with discretization methods of dynamical system in order to exploit (even partial) knowledge on the system.

The first type of system we adress consist in toral autormorphisms and translations. To obtain informations on their applications needs to abstract their dynamical properties. Inspired by the one-dimensional case (beta-numeration and sturmian sequences); the main question is to exhibit a toral fundamental domain and a partition of this domain in which the dynamics of the systems is coded by simple symbolic systems. We used a decidable approach to describe the fractal boundary of the domain in the Pisot case and its tiling properties and we derived criteria to decide whether it generates a good coding. From their topological properties we deduced applications in number theory (characterization of rational numbers with a finite or purely periodic expansion in a non-integer basis) and discrete geometry (condition for the iterative generation of discrete planes).

The second class of question we adress in the framework of large-scale dynamical systems in molecular biology is how to produce information on a system that is only partially known and observed. We introduced a formalism to interpret observations in molecular biology, with a dynamical background. The main purpose was to guide model correction and, in the future, experiment design. Qualitative aspects are replaced by properties of shift equilibria,
so that analyzing data is reduced to writting and then solving constraints on discrete sets.
Ce travail présente des contributions théoriques et pratiques à la théorie des codages symboliques de systèmes dynamiques. Les applications concernent différents champs mathématiques et la modélisation en biologie moléculaire. Le but est d'illustrer comment des méthodes de discrétisation de systèmes dynamiques et une approche algorithmique permettent d'exploiter au mieux les connaissances disponibles sur le système, même partielles. Un premier objectif est d'exhiber des informations au sujet d'une dynamique que l'on connaît explicitement et les traduire en propriétés concrètes. Un deuxième objectif est de produire de la connaissance sur une dynamique ou un modèle lorsqu'on ne le connaît pas explicitement.Dans ce document, ces deux questions sont abordées sur deux grandes classes de systèmes dynamiques.

Les premiers systèmes considérés sont des automorphismes et des translations sur un tore. Inspirés par les cas unidimensionnels (beta-numération, étude des suites sturmiennes), la question principale qui se pose est de trouver un domaine fondamental pour le tore dans lequel les trajectoires de la dynamique considérée se codent par des systèmes symboliques simples. Dans le cas où l'automorphisme du tore considéré admet une unique direction dilatante (le cas Pisot), un bon candidat pour ces partitions est donné par un domaine dont la base est fractale, introduit par G. Rauzy dans les années 1980. Nous décrivons comment une approche décidable pour décrire le bord fractal du domaine et ses propriétés de pavage, permet de s'assurer qu'il s'agit d'un domaine adéquat pour un codage du l'automorphisme. La description du bord du domaine permet de décrire ses propriétés topologiques, et de les exploiter dans les différents domaines d'informatique théorique où les automorphismes et les additions sur un tore apparaissent. Ainsi, en théorie des nombres, nous nous appuyons sur la topologie du domaine pour caractériser les propriétés des développements finis ou purement périodiques de rationnels en base non entière. En géométrie discrète, ces propriétés s'interprètent en termes de conditions pour l'engendrement de plans discrets par des méthodes itératives.

La deuxième classe de systèmes concerne les systèmes dynamiques de grande échelle en biologie moléculaire. Il s'avère que les données et les connaissances sur les modèles de régulations transcriptionnelles dans une cellule sont souvent trop partielles pour leur appliquer les méthodes usuellement utilisées pour la modélisation de systèmes expérimentaux. Dans ce document, nous discutons d'un formalisme (inspiré par la dynamique) qui permet d'interpréter les observations en biologie moléculaire, pour aider à la correction de modèles, et, dans le futur, à la mise en place de plans expérimentaux. Au vu de la qualité des données, les aspects dynamiques sont alors remplacés par des considérations sur les déplacements d'états stationnaires, et analyser les données revient à formaliser puis résoudre des contraintes portant sur des ensembles discrets. Nous montrons ainsi comment aborder les notions de corrections de modèles et de diagnostic de réseaux grande échelle.
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Dates and versions

tel-00358996 , version 1 (05-02-2009)

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  • HAL Id : tel-00358996 , version 1

Cite

Anne Siegel. Analyse de systèmes dynamiques par discrétisation. Exemples d'applications en théorie des nombres et en biologie moléculaire. Mathématiques [math]. Université Rennes 1, 2008. ⟨tel-00358996⟩
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