Contributions to the study of levy processes and Fractional processes via the malliavin calculus and Applications in statistics.
Contributions à l'étude des processus de Lévy et des processus fractionnaires via le calcul de Malliavin et applications en statistique
Résumé
In the first part, we establish Itô's and Tanaka's formulas for the multidimensional bifractional Brownian motion. We study the existence of an occupation density for certain processes related to fractional Brownian motion.
In the second part, we study the cubic variation of Rosenblatt process. We consider the problem of efficient estimation for the drift of fractional Brownian motion . We also construct superefficient James-Stein type estimators which dominate, under the usual quadratic risk, the natural maximum likelihood estimator.
In the last part, we study Skorohod integral processes on Lévy spaces and we prove an equivalence between this class of processes and the class of Itô-Skorohod process. We give a link between stable proceses and selfsimilaire processes through stochastic processes which are infinitely divisible with respect to time .
In the second part, we study the cubic variation of Rosenblatt process. We consider the problem of efficient estimation for the drift of fractional Brownian motion . We also construct superefficient James-Stein type estimators which dominate, under the usual quadratic risk, the natural maximum likelihood estimator.
In the last part, we study Skorohod integral processes on Lévy spaces and we prove an equivalence between this class of processes and the class of Itô-Skorohod process. We give a link between stable proceses and selfsimilaire processes through stochastic processes which are infinitely divisible with respect to time .
Cette thèse se décompose en six chapitres plus ou moins distincts. Cependant, tous font appel au calcul de Malliavin, aux notions de processus gaussien et processus de Lévy, et à leur utilisation en statistique. Chacune des trois parties a fait l'objet de deux articles.
Dans la première partie, nous établissons les théorèmes d'Itô et deTanaka pour le mouvement brownien bifractionnaire multidimensionnel. Ensuite nous étudions l'existence de la densité d'occupation pour certains processus en relation avec le mouvement brownien fractionnaire.
Dans la deuxième partie, nous analysons, dans un premier temps, le comportement asymptotique de la variation cubique pour le processus de Rosenblatt. Dans un deuxième temps, nous construisons d'une part des estimateurs efficace pour la dérive de mouvement brownien fractionnaire et d'autre part des estimateurs biaisés de type James-Stein qui dominent, sous le riqsue quadratique usuel, l'estimateur du maximum de vraisemblance.
La dernière partie présente deux travaux. Dans le premier, nous utilisons une approche menant à un calcul de Malliavin pour les processus de Lévy, qui a été développée récemment par Solé et al. , et nous étudions des processus anticipés de type intégrale d'Itô-Skorohod sur l'espace de Lévy. Dans le deuxième, nous étudions le lien entre les processus stables et les processus auto-similaires, à travers des processus qui sont infiniment divisibles en temps.
Dans la première partie, nous établissons les théorèmes d'Itô et deTanaka pour le mouvement brownien bifractionnaire multidimensionnel. Ensuite nous étudions l'existence de la densité d'occupation pour certains processus en relation avec le mouvement brownien fractionnaire.
Dans la deuxième partie, nous analysons, dans un premier temps, le comportement asymptotique de la variation cubique pour le processus de Rosenblatt. Dans un deuxième temps, nous construisons d'une part des estimateurs efficace pour la dérive de mouvement brownien fractionnaire et d'autre part des estimateurs biaisés de type James-Stein qui dominent, sous le riqsue quadratique usuel, l'estimateur du maximum de vraisemblance.
La dernière partie présente deux travaux. Dans le premier, nous utilisons une approche menant à un calcul de Malliavin pour les processus de Lévy, qui a été développée récemment par Solé et al. , et nous étudions des processus anticipés de type intégrale d'Itô-Skorohod sur l'espace de Lévy. Dans le deuxième, nous étudions le lien entre les processus stables et les processus auto-similaires, à travers des processus qui sont infiniment divisibles en temps.
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