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Habilitation À Diriger Des Recherches Year : 2009

Large quantum systems: a mathematical and numerical perspective

Systèmes quantiques à grand nombre de particules :
une perspective mathématique et numérique

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Mathieu Lewin

Abstract

This thesis is devoted to the mathematical study of variational models for large quantum systems. The mathematical methods are that of nonlinear analysis, calculus of variations, partial differential equations, spectral theory, and numerical analysis.

The first part contains some results on finite systems. We study several approximations of the N-body Schrödinger for electrons in an atom or a molecule, and then the so-called Hartree-Fock-Bogoliubov model for a system of fermions interacting via the gravitational force.

In a second part, we propose a new method allowing to prove the existence of the thermodynamic limit of Coulomb quantum systems.

Then, we construct two Hartree-Fock-type models for infinite systems. The first is a relativistic theory deduced from Quantum Electrodynamics, allowing to describe the behavior of electrons, coupled to that of Dirac's vacuum which can become polarized. The second model describes a nonrelativistic quantum crystal in the presence of a charged defect. A new numerical method is also proposed.

The last part of the thesis is devoted to spectral pollution, a phenomenon which is observed when trying to approximate eigenvalues in a gap of the essential spectrum of a self-adjoint operator, for instance for periodic Schrödinger or Dirac operators.
Ce mémoire est consacré à l'étude mathématique de divers modèles variationnels permettant la description de systèmes quantiques, en particulier infinis. Les outils mathématiques utilisés sont ceux de l'analyse non linéaire, du calcul des variations, des équations aux dérivées partielles, de la théorie spectrale et du calcul scientifique.

Une première partie contient quelques résultats pour des systèmes finis. Nous étudions des approximations de l'équation de Schrödinger pour N électrons dans une molécule ou un atome, puis le modèle de Hartree-Fock-Bogoliubov pour un système de fermions interagissant avec une force de type gravitationnelle.

Dans une seconde partie nous proposons une nouvelle méthode pour démontrer l'existence de la limite thermodynamique pour des systèmes quantiques interagissant avec la force de Coulomb.

Ensuite, nous construisons deux modèles de type Hartree-Fock pour des systèmes infinis. Le premier est un modèle relativiste, déduit de l'électrodynamique quantique, et qui permet de décrire le comportement d'électrons, couplés avec celui du vide de Dirac qui peut se polariser. Le second modèle décrit l'état d'un cristal non relativiste en présence d'un défaut chargé ; il est complété par une nouvelle approche numérique.

La dernière partie du mémoire est consacrée au problème de pollution spectrale, un phénomène observé lorsque l'on cherche à calculer des valeurs propres au milieu du spectre essentiel, par exemple pour des opérateurs de Dirac ou de Schrödinger périodique.
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Dates and versions

tel-00394205 , version 1 (10-06-2009)

Identifiers

  • HAL Id : tel-00394205 , version 1

Cite

Mathieu Lewin. Large quantum systems: a mathematical and numerical perspective. Mathematics [math]. Université de Cergy Pontoise, 2009. ⟨tel-00394205⟩
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