Programme de Langlands $p$-adique, invariants $\mathcal{L}$ et catégories dérivées - TEL - Thèses en ligne Access content directly
Theses Year : 2009

$p$-adic Langlands Program, $\mathcal{L}$ Invariants and Derived Categories

Programme de Langlands $p$-adique, invariants $\mathcal{L}$ et catégories dérivées

Abstract

The results of this thesis have for background the $p$-adic Langlands program. When $V$ is a two dimensional $p$-adic representation of the Galois group of $\mathbb{Q}_p$, we know how to associate to $V$ a continuous $p$-adic representation of $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Q}_p)$. In a first chapter, we consider the case where $V$ is semi-stable non crystalline and construct a functor which gives the Fontaine module of $V$, when it is applied to a locally analytic subrepresentation $\Sigma(V)$ of $B(V)$ which was constructed by Breuil. This method, which is inspired by works of Carayol and Dat in the $\ell$-adic setting, uses the de Rham complex of Drinfel'd's Half space. When $L$ is a finite extension of $\mathbb{Q}_p$, we extend this construction to some families of semi-stable non crystalline two dimensional representations of $G_{\mathbb{Q}_p}$ parametrized by $[L:\mathbb{Q}_p]$-uples of elements of the coefficient field. We propose, in analogy with Breuil's constructions, a locally analytic representation of $\mathrm{GL}_2(L)$ associated to $V$ and show that we can retrieve the Fontaine module of $V$ by the precedent functor. In a second chapter, we are intersesting by some families of semi-stable three dimensional representations of $G_{\mathbb{Q}_p}$. In this case, the situation is much more complicated and we construct, for such a representation $V$, not a representation but a complex $\Sigma(V)$ of locally analytic representations of $\mathrm{GL}_3(\mathbb{Q}_p)$. Then we show that an analog of the functor of the first chapter, but using the two dimensional Drinfel'd's space, associates to $\Sigma(V)$ the Fontaine module of $V$.
Les résultats de cette thèse s'inscrivent dans le cadre du programme de Langlands $p$-adique. Lorsque $V$ est une représentation $p$-adique de dimension 2 du groupe de Galois de $\mathbb{Q}_p$, on sait lui associer une représentation $p$-adique continue $B(V)$ de $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Q}_p)$. Dans un premier chapitre, nous considérons le cas où $V$ est semi-stable non cristalline et construisons un foncteur qui, appliqué à une sous-représentation localement analytique $\Sigma(V)$ de $B(V)$ construite par Breuil, donne le module de Fontaine de $V$. Cette méthode, inspirée des travaux de Carayol et Dat dans le cadre $\ell$-adique, utilise le complexe de de Rham du demi-plan de Drinfel'd. Lorsque $L$ est une extension finie de $\mathbb{Q}_p$, nous étendons cette construction à certaines familles de représentations semi-stables non cristallines de dimension 2 du groupe de Galois de $L$, paramétrées par un $[L:\mathbb{Q}_p]$-uplet d'éléments du corps des coefficients. Nous proposons alors, par analogie avec les constructions de Breuil dans le cas $L=\mathbb{Q}_p$, la construction d'une représentation localement analytique de $\mathrm{GL}_2(L)$ associée à $V$ et montrons qu'elle permet de retrouver le module de Fontaine de $V$ par le foncteur décrit précédemment. Dans un deuxième chapitre, nous nous intéressons à certaines familles de représentations semi-stables de dimension 3 de $G_{\mathbb{Q}_p}$. Dans ce cas, la situation devient plus compliquée et nous construisons, pour toute représentation $V$ de cette famille, non pas une représentation mais un complexe $\Sigma(V)$ de représentations localement analytiques de $\mathrm{GL}_3(\mathbb{Q}_p)$. Nous montrons alors qu'un analogue du foncteur du chapitre 1, mais utilisant l'espace de Drinfel'd de dimension 2, associe à $\Sigma(V)$ le module de Fontaine de $V$.
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Dates and versions

tel-00421058 , version 1 (30-09-2009)

Identifiers

  • HAL Id : tel-00421058 , version 1

Cite

Benjamin Schraen. Programme de Langlands $p$-adique, invariants $\mathcal{L}$ et catégories dérivées. Mathématiques [math]. Université Paris Sud - Paris XI, 2009. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00421058⟩
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