The Yamabe problem with singularities and Hebey-Vaugon conjecture.
Le problème de Yamabe avec singularités et la conjecture de Hebey-Vaugon.
Résumé
In the first part of this thesis, we study the Yamabe problem with singularities, that we can announce as follow: Given a compact Riemannian manifold (M,g), find a constant scalar curvature metric, conformal to g, when g has not necessarily the usual regularity (it can be C^1). We consider also the equivariant case (in the presence of the isometry group)}. To solve this problem, we start the study of the Yamabe type equations. We show that all the known properties in the smooth case (Yamabe problem) are still valid in our case. Under some assumptions, we prove the existence and unicity of solutions for this singular Yamabe problem .
The second part is dedicated to the Hebey-Vaugon conjecture, stated in their paper about the equivariant Yamabe problem. We prove that this conjecture is true in some other new cases, after we generalize T. Aubin's theorem.
The second part is dedicated to the Hebey-Vaugon conjecture, stated in their paper about the equivariant Yamabe problem. We prove that this conjecture is true in some other new cases, after we generalize T. Aubin's theorem.
Dans la première partie de cette thèse, on étudie, sur une variété compacte M, le problème de Yamabe avec singularités. Ce problème consiste à chercher une métrique riemannienne conforme à g de courbure scalaire constante, sachant que la métrique g n'a pas la régularité habituelle (elle peut être de classe C^1). Le cas équivariant est également considéré. Pour le résoudre, on commence par étudier les équations de type Yamabe. On montre que les propriétés connues dans le cas C^\infty (le problème de Yamabe) sont encore valides dans notre cas. Sous certaines hypothèses, on montre l'existence et l'unicité des solutions pour le problème de Yamabe avec singularités.
La seconde partie de la thèse est consacrée à l'étude de la conjecture de Hebey-Vaugon, énoncée dans le cadre du problème de Yamabe équivariant. On montre que la conjecture est vraie dans certains nouveaux cas, après avoir généralisé un théorème de T. Aubin.
La seconde partie de la thèse est consacrée à l'étude de la conjecture de Hebey-Vaugon, énoncée dans le cadre du problème de Yamabe équivariant. On montre que la conjecture est vraie dans certains nouveaux cas, après avoir généralisé un théorème de T. Aubin.
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