Contrôlabilité et stabilisation frontière pour l'équation de Korteweg-de Vries. - TEL - Thèses en ligne Access content directly
Theses Year : 2008

Controllability and stabilization for the Korteweg-de Vries equation

Contrôlabilité et stabilisation frontière pour l'équation de Korteweg-de Vries.

Eduardo Cerpa
  • Function : Author
  • PersonId : 864095

Abstract

In this thesis, we will consider a control system where the state is given by the solution of a Korteweg-de Vries (KdV) equation posed on a bounded interval. We consider the homogeneous Dirichlet boundary conditions and the control acts on the Neumann boundary conditions at the right-end point. We will study two kind of problems strongly related: controllability and stabilization. Chapters 2 and 3 are concerned with the study of controllability on some domains for which the linear system is not controllable. Our aim is to prove that, in despite of this lack of controllability for the linear system, the nonlinearity allows us to obtain the controllability for the nonlinear system. To do that, we will use the development in power series method, which has been introduced, in the infinite-dimensional framework, by J.-M. Coron and E. Crépeau in [J. Eur. Math. Soc. (JEMS) 6, no. 3, pp. 367-398, 2004]. This method consists in moving the system along the missed directions for the linear system by means of higher order development, and then to apply a fixed-point theorem. In chapter 4, we will study the stabilization issue. Our aim is to build some feedback laws such that the closed-loop system has an exponential decay to zero with a decay rate arbitrary. The method used is due to J. M. Urquiza who introduced it in [SIAM J. Control Optim., V. 43, no. 6, pp 2233-2244, 2005]. In order to apply this method, a spectral analysis for the stationary KdV operator is needed.
Dans cette thèse, nous allons considérer un système de contrôle dont l'état est donné par la solution de l'équation de Korteweg-de Vries (KdV) posée sur un intervalle borné. On imposera des conditions Dirichlet homogènes aux bords et le contrôle portera sur la condition Neumann à droite de l'intervalle. Nous allons considérer deux types de problèmes qui sont étroitement liés : la contrôlabilité et la stabilisation. Les chapitres 2 et 3 sont consacrés a étudier la contrôlabilité sur quelques domaines pour lesquels le système linéaire n'est pas contrôlable. Notre but est de démontrer que malgré cette perte de contrôlabilité du système linéaire, la non-linéarité nous permet d'obtenir la contrôlabilité pour le système non linéaire. Pour faire ceci nous allons utiliser la méthode de développement en séries entières, introduite dans le cadre de la dimension infinie par J.-M. Coron et E. Crépeau dans [J. Eur. Math. Soc. (JEMS) 6, no. 3, pp. 367-398, 2004]. La méthode consiste à bouger le système le long des directions manquantes pour le système linéaire par des développements d'ordre supérieur à un, et puis à appliquer un théorème de point fixe. Dans le chapitre 4, on étudiera la stabilisation pour notre système. Le but de cette partie est de construire des lois de feedback tel que le système en boucle fermée ait une décroissance exponentielle vers zéro avec un taux de décroissance arbitraire. La méthode utilisée est due a J. M. Urquiza qui l'a introduite dans [SIAM J. Control Optim., V. 43, no. 6, pp 2233-2244, 2005]. Pour être en mesure d'appliquer cette méthode, une analyse spectrale de l'opérateur de KdV stationnaire est nécessaire.
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Dates and versions

tel-00425316 , version 1 (20-10-2009)

Identifiers

  • HAL Id : tel-00425316 , version 1

Cite

Eduardo Cerpa. Contrôlabilité et stabilisation frontière pour l'équation de Korteweg-de Vries.. Mathématiques [math]. Université Paris Sud - Paris XI, 2008. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00425316⟩
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