On some problems related to the dynamics of vortices in the Euler and complex Ginzburg-Landau equations - Archive ouverte HAL Access content directly
Theses Year : 2009

On some problems related to the dynamics of vortices in the Euler and complex Ginzburg-Landau equations

Quelques problèmes relatifs à la dynamique des points vortex dans les équations d'Euler et de Ginzburg-Landau complexe

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Evelyne Miot

Abstract

In this dissertation, we study some problems related to vortex dynamics in two equations for two-dimensional fluids or superfluids. The first part is devoted to the incompressible Euler equations. We analyze the so-called Vortex-Wave system, introduced by Marchioro and Pulvirenti, in which the vorticity is given by the superposition of point vortices and of a smoother part. We first examine the link between the lagrangian and eulerian points of view. We then tackle the question of uniqueness. We also study the large time behavior of the support of the vorticity. Finally, we address the problem of existence for more singular vorticities. In the second part of the thesis, we focus on a complex Ginzburg-Landau equation that has the form of a Gross-Pitaevskii equation with some dissipation added. We first study the Cauchy problem in the corresponding energy space. We then turn to the study of vortex dynamics for very well prepared data. At last, we consider another asymptotic regime without vortices for perturbations of the vacuum. We show that the perturbation essentially behaves according to a damped wave-like equation.
Les problèmes étudiés dans cette thèse ont trait à la dynamique des points vortex dans deux équations pour les fluides ou superfluides bidimensionnels. La première partie est dévolue à l'équation d'Euler incompressible. Nous y analysons le système mixte Euler-points vortex, introduit par Marchioro et Pulvirenti, qui décrit l'évolution d'un tourbillon obtenu par superposition de points vortex et d'une composante plus régulière. Nous examinons diverses problématiques telles que le lien entre les points de vue lagrangien et eulérien, l'unicité, l'existence et l'expansion du support du tourbillon. La seconde partie de la thèse est consacrée à une équation de Ginzburg-Landau complexe obtenue en ajoutant un terme de dissipation à l'équation de Gross-Pitaevskii. Après avoir examiné le problème de Cauchy dans l'espace d'énergie correspondant, nous étudions la dynamique des points vortex dans le cadre de données très bien préparées. Dans un dernier temps, nous considérons un autre régime asymptotique, sans vortex, dans lequel les solutions sont des perturbations de champs constants de module égal à un. Une dynamique de type ondes amorties pour la perturbation est mise en évidence.
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tel-00444820 , version 1 (07-01-2010)

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Cite

Evelyne Miot. Quelques problèmes relatifs à la dynamique des points vortex dans les équations d'Euler et de Ginzburg-Landau complexe. Mathématiques [math]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2009. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00444820⟩
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