Homotopy theory of Atiyah and Hitchin schemes
Théorie homotopique des schémas d'Atiyah et Hitchin
Résumé
This work introduces Atiyah-Hitchin schemes. They are a family, indexed by a positive integer m, of algebraic varieties $R_m(Y)$ attached to a fixed algebraic variety Y . We study the motivic homotopy properties of these “spaces” in the sense of Morel and Voevodsky. The schemes $F_m$ of pointed rational functions of degree m form a fundamental example. From the topological viewpoint, Segal and F. Cohen et al. proved that the topological space $F_m (C)$ approximates the loop space $Ω² S³$ . We formulate a precise series of conjectures aiming to generalize these results to the algebraic framework. The slogan is that the scheme $R_m (Y)$ should approximate the motivic loop space $Ω^{P¹} Σ^{P¹} Y$. We establish several results in this direction, among which: 1) First, we determine the monoid of naive algebraic connected components of the schemes of rational functions $F_m$ over a base field. The method is simple and elementary. We recover, up to a completion, the group of motivic homotopy classes of endomorphisms of the projective line $P¹$ , as computed by Morel. 2) We construct an algebraic morphism linking $R_m(Y)$ to $Ω^{P¹}Σ^{P¹} Y$. 3) When the algebraic variety Y is defined over C, we give an explicit description of the homotopy type of the topological space $R_m (Y)(C)$ as a functor in $Y(C)$. Moreover, we show that the space $(R_m Y )(C)$ stably splits with the same summands as in the Snaith splitting of $Ω² Σ² Y (C)$.
Ce travail introduit la notion de schéma d'Atiyah et Hitchin. Une variété algébrique raisonnable Y étant fixée, il s'agit d'une famille de nouveaux schémas, indexée par un entier positif m et notée $R_m(Y)$. Nous étudions les propriétés homotopiques de ces « espaces » au sens de Morel et Voevodsky. Les schémas $F_m$ des fractions rationnelles pointées de degré m constituent un exemple fondateur et fondamental. Du point de vue topologique, les travaux de G. Segal et F. Cohen et al. montrent que l'espace $F_m(C)$ approxime l'espace de lacets $Ω^2 S^3$. Nous formulons une série précise de conjectures visant à généraliser ces résultats dans un cadre algébrique. Le schéma $R_m(Y)$ approximerait l'espace de lacets motivique $Ω^{P¹} Σ^{P¹} Y$. Nous obtenons plusieurs résultats dans cette direction. En particulier : 1) Nous déterminons l'ensemble des composantes connexes algébriques naïves du schéma de fractions rationnelles $F_m$, au-dessus d'un corps de base. Le calcul est simple et élémentaire. On retrouve, à une complétion près, le groupe des classes d'homotopie d'endomorphismes pointés de la droite projective $P¹$, tel que calculé par Morel. 2) Nous construisons un morphisme algébrique reliant $R_mY$ à $Ω^{P¹} Σ^{P¹} Y$. 3) Lorsque Y est une variété algébrique complexe, nous explicitons le type d'homotopie de l'espace topologique $R_m(Y)(C)$ comme un foncteur en $Y(C)$. De plus, nous montrons que l'espace $R_m(Y)(C)$ admet un scindement stable dont les facteurs sont ceux du scindement de Snaith de l'espace $Ω² Σ² Y (C)$.
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