Antiautomorphismes d'algèbres et objets reliés. - TEL - Thèses en ligne Access content directly
Habilitation À Diriger Des Recherches Year : 2010

Algebra antiautomorphisms (and related topics)

Antiautomorphismes d'algèbres et objets reliés.

Abstract

This report concerns the study of algebra antiautomorphisms, the case of linear antiautomorphisms over central simple algebras is specially concerned. When the algebra is a matrix algebra, such an antiautomorphism is the adjonction for a bilinear form. Hence, the classification of linear antiautomorphisms is a generalization of the classification of bilinear forms (up to similarity). In a first part, the asymmetry of a sesquilinear form is defined, and we give a characterization of the elements in a matrix algebra which are asymmetries. The notion of product of sesquilinear forms gives rise to a Morita theory for algebras with antiautomorphism. We then define the orthogonal sum of such algebras which are Morita equivalent with asymmetry. In a second part, after some remarks about the power of the the asymmetry in the classification of bilinear forms over fields, we explain how the notion of asymmetry is generalized to linear antiautomorphismes over central simple algebras. We give a list of questions and comments about what we could hope using this asymmetry. The study of the Hasse principle for similarities of bilinear forms naturally leads to the computation of some Tate-Shafarevich groups of some normic algebraic torus. This allows us in a third part to produce some counter-examples to this hasse princile, and to give an interpretation of the obstruction to this principle in terms of class field theory. Some other computations of Tate-Shavarevich groups for algebraic tori prove that those tori are not stably rational. This result gives the simple algebraic groups which generic torus is rational, and restricts the cases where the rationality of the generic torus could give the rationality of the group. The fourth part is the definition and the study of some natural and functorial ionvariants, generalizing the known invariants for involutions (and quadratic forms) : discriminant, clifford algebra, trace form. We develop some classification results obtained in small dimension and explain the results we could hope in small cohomological dimension.
Ce mémoire porte sur l'étude des antiautomorphismes d'algèbres et en particulier sur les antiautomorphismes linéaires d'algèbres centrales simples (sur un corps commutatif). Si l'algèbre est une algèbre de matrices, alors un tel antiautomorphisme est l'adjonction pour une forme bilinéaire. Ainsi la classification des antiautomorphismes linéaires (resp. de type II) à isomorphisme près est une généralisation de celle des formes bilinéaires (resp. sesquilinéaires) à similitude près. Dans la première partie, on définit la notion d'asymétrie d'une forme sesquilinéaire, et on étudie les éléments d'une algèbre d'endomorphismes qui sont une asymétrie. La notion de produit de formes sesquilinéaires conduit à une théorie de Morita pour les algèbres à antiautomorphismes, qui permet de généraliser la notion de somme orthogonale connue pour les involutions d'algèbres centrales simples aux algèbres à antiautomorphisme Morita équivalentes avec asymétrie. Dans la deuxième partie, après avoir rappelé comment l'asymétrie permet d'obtenir une classification des formes bilinéaires, on généralise au cas non déployé linéaire la notion d'asymétrie et on explique comment on peut espérer obtenir de bons résultats en étudiant l'involution induite sur le centralisateur de l'asymétrie et la pseudo-involution linéaire associée à cette asymètrie. L'étude du principe de Hasse pour les similitudes de formes bilinéaires conduit natu- rellement au calcul de certains groupes de Tate-Schafarevich de tores algébriques de type normique. Ceci permet, dans une troisième partie, de donner des contre-exemples à ce principe sur des corps de nombres, ainsi qu'une interprétation de type corps de classe à l'obstruction à ce principe. Ce type de calculs pour d'autres tores normiques permet de démontrer qu'ils ne sont pas stablement rationnels. Ce résultat permet alors de déterminer les groupes algébriques simples dont le tore générique est rationnel, et délimite donc les cas pour lesquels l'étude du tore générique donne la rationalité du groupe. La quatrième partie est dédiée à la définition et à l'étude d'invariants des algèbres centrales simples à antiautomorphismes qui généralisent ceux donnant de bons résultats de classification pour les involutions : le discriminant, l'algèbre de Clifford et la forme trace. On y développe alors les résultats espérés en petite dimension cohomologique ou en petit degré.
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Dates and versions

tel-00497746 , version 1 (05-07-2010)

Identifiers

  • HAL Id : tel-00497746 , version 1

Cite

Anne Cortella. Antiautomorphismes d'algèbres et objets reliés.. Mathématiques [math]. Université de Franche-Comté, 2010. ⟨tel-00497746⟩
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