On the excursion theory for the symmetric stable Lévy processes with index α ϵ ]1,2] and some applications.
Sur la théorie des excursions pour des processus de Lévy symétriques stables d'indice α ϵ ]1,2] et quelques applications
Résumé
This thesis consists of five chapters. Chapter 1 is divided in two parts; first part concerns the general Lévy processes and the second one, the particular case of symmetric stable Lévy processes. Chapter 2 focuses on the theory of fluctuations in the stable case and contains most of the original results of this thesis. In this chapter, we study the joint distribution of the first passage time over a fixed barrier and the corresponding overshoot. We then look into the joint distribution of the process at time t, its supremum before t and the last hitting time of the supremum before t. Chapter 3 is also composed of two parts. First part treats local times and the second deals with the excursion theory. Both are studied in the case of symmetric stable Lévy processes with index greater than 1. For the local times we give the fundamental definitions and classical properties. Concerning the excursion theory, we develop an exposition in a classical way. We provide, among others, the definitions of normalized excursion and meander. We also give simple constructions for these objects. Finally, some recent results due to K.Yano, Y. Yano and M. Yor are exposed. Chapters 4 and 5 deal with applications (in the symmetric stable case) of excursions theory. We study the time spent positive and negative. and generalised principal values.
Cette thèse est constituée de 5 chapitres. Le chapitre 1 est divisé en deux parties; la première autour des généralités sur les processus de Lévy et la deuxième sur le cas particulier des processus symétriques stables. Le chapitre 2 porte sur la théorie des fluctuations dans le cas stable et concentre la plupart des résultats originaux de cette thèse. Dans ce chapitre, on s'intéresse premièrement à la loi conjointe du premier temps de passage au-dessus d'une barrière et de la position du processus en cet instant ainsi qu'à des questions autour de l'absolue continuité de la loi du supremum. Dans un deuxième temps, dans le cas stable, on s'intéresse à la loi conjointe du processus au temps t, de son supremum avant t et du dernier temps d'atteinte du supremum avant t. Le chapitre 3 est aussi constitué des deux parties, une partie sur les temps locaux et une autre partie sur la théorie des excursions. Les deux parties sont traitées dans le cas des processus symétriques stables d'indice supérieur à 1. Concernant les temps locaux, on rappelle leur définition et leurs principales propriétés. Concernant la théorie des excursions, on présente la théorie de façon semblable aux cas classiques en passant entre autres par les définitions d'excursion normalisée et de méandre, et en donnant des constructions simples pour ces objets. On présente aussi quelques développements récents de la théorie dus à K.Yano, Y. Yano et M. Yor. Les chapitres 4 et 5 portent sur des applications (dans le cas symétrique stable) de la théorie des excursions à l'étude respectif des temps passés positif et négatif et des valeurs principales généralisées.
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