Theta functions and cryptographic applications
Fonctions thêta et applications à la cryptographie
Résumé
The discrete logarithm on elliptic curves gives the standard protocols in public key cryptography: asymmetric encryption, signatures, zero-knowledge authentification. To extend the discrete logarithm to hyperelliptic curves of higher genus we need efficient methods to generate secure curves. The aim of this thesis is to give new algorithms to compute with abelian varieties. For this we use the theory of algebraic theta functions in the framework of \name{Mumford}. In particular, we give a full generalization of Vélu's formulas for the computation of isogenies on abelian varieties. We also give a new algorithm for the computation of pairings using theta coordinates. Finally we present a point compression method to manipulate more efficiently theta coordinates of high level. These applications follow from the analysis of Riemann relations on theta functions for the addition law. Whereas the results of this thesis are valid for any abelian variety, for the applications a special emphasis is given to Jacobians of hyperelliptic genus~$2$ curves, since they are the most significantly relevant case in cryptography.
Le logarithme discret sur les courbes elliptiques fournit la panoplie standard de la cryptographie à clé publique: chiffrement asymétrique, signature, authentification. Son extension à des courbes hyperelliptiques de genre supérieur se heurte à la difficulté de construire de telles courbes qui soient sécurisées. Dans cette thèse nous utilisons la théorie des fonctions thêta développée par \name{Mumford} pour construire des algorithmes efficaces pour manipuler les variétés abéliennes. En particulier nous donnons une généralisation complète des formules de Vélu sur les courbes elliptiques pour le calcul d'isogénie sur des variétés abéliennes. Nous donnons également un nouvel algorithme pour le calcul efficace de couplage sur les variétés abéliennes en utilisant les coordonnées thêta. Enfin, nous présentons une méthode de compression des coordonnées pour améliorer l'arithmétique sur les coordonnées thêta de grand niveau. Ces applications découlent d'une analyse fine des formules d'addition sur les fonctions thêta. Si les résultats de cette thèse sont valables pour toute variété abélienne, pour les applications nous nous concentrons surtout sur les Jacobiennes de courbes hyperelliptiques de genre~$2$, qui est le cas le plus significatif cryptographiquement.
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