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Theses Year : 2010

Nonparametric estimation of conditional extreme quantiles

Estimation non-paramétrique des quantiles extrêmes conditionnels

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Abstract

The main goal of this thesis is to propose new estimators of extreme quantiles in the conditional case, that is to say in the situation where the variable of interest Y, supposed to be random and real, is recorded simultaneously with some covariate information X . To this aim, we focus on the case where the conditional distribution of Y given X = x is "heavy-tailed". Two situations are considered. First, when the covariate is deterministic and finite-dimensional or infinite-dimensional (i.e functional covariate), we propose to estimate the extreme quantiles by the "moving window approach". The asymptotic distribution of the proposed estimators is given in the case where the quantile is in the range of data or near and even beyond the sample. Next, when the covariate is random and finite-dimensional, we show that under some conditions, it is possible to estimate these extreme quantiles using a kernel estimator of the conditional survival function. As a consequence, this result allows us to introduce two smooth versions of the conditional tail index estimator necessary to extrapolate. Asymptotic distributions of these estimators are established. Furthermore, we also considered the case without covariate. When the underlying, the cumulative distribution function is "heavy-tailed". A new unconditional extreme quantile estimator is introduced and studied. To assess the behavior of all our new statistical tools, numerical experiments on simulated data are provided and illustrations on real datasets are presented.
L'objectif de ce travail est de proposer de nouveaux estimateurs de quantiles extrêmes dans le cadre conditionnel c'est-à-dire dans la situation où la variable d'intérêt Y, supposée aléatoire et réelle, est mesurée simultanément avec une covariable X. Pour ce faire, nous nous intéressons à l'étude des valeurs extrêmes d'un échantillon d'observations indépendantes dont la loi conditionnelle de Y en un point x de la covariable X est à " queue lourde ". Selon la nature de la covariable, nous considérons deux situations. Primo, lorsque la covariable est déterministe et de dimension finie ou infinie (i.e covariable fonctionnelle), nous proposons d'estimer les quantiles extrêmes par la méthode dite de la " fenêtre mobile ". La loi limite des estimateurs ainsi construits est ensuite donnée en fonction de la vitesse de convergence de l'ordre du quantile vers un. Secundo, lorsque la covariable est aléatoire et de dimension finie, nous montrons que sous certaines conditions, il est possible d'estimer les quantiles extrêmes conditionnels au moyen d'un estimateur à " noyau " de la fonction de survie conditionnelle. Ce résultat nous permet d'introduire deux versions lisses de l'estimateur de l'indice de queue conditionnel indispensable lorsque l'on veut extrapoler. Nous établissons la loi asymptotique de ces estimateurs. Par ailleurs, nous considérons le cas sans covariable (non conditionnel) lorsque la fonction de répartition est à " queue lourde ". Nous proposons et étudions un nouvel estimateur des quantiles extrêmes. Afin d'apprécier le comportement de nos nouveaux outils statistiques, des résultats sur simulation ainsi que sur des données réelles sont présentés.
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Dates and versions

tel-00529476 , version 1 (25-10-2010)
tel-00529476 , version 2 (26-02-2015)

Identifiers

  • HAL Id : tel-00529476 , version 2

Cite

Alexandre Lekina. Estimation non-paramétrique des quantiles extrêmes conditionnels. Mathématiques [math]. Université Joseph-Fourier - Grenoble I; Université de Grenoble, 2010. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00529476v2⟩
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