The nature of Bose-Einstein condensation enhanced by localisation - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2010

The nature of Bose-Einstein condensation enhanced by localisation

La nature de la condensation de Bose-Einstein induite par la localisation

Résumé

We investigate the phase transition exhibited by the Bose gas in systems which are not translation-invariant. Though it has been known since the sixties that Bose-Einstein condensation (BEC) cannot occur in translation invariant systems for dimension 1 or 2, one can nevertheless enhance this phase transition in low-dimensional Bose gases by the addition of suitable external potentials (thus losing translation invariance in the process). However, the resulting condensate is then found to be in localised states, while BEC is usually understood to be the macroscopic occupation of extended kinetic eigenstates. It is therefore not clear whether the phase transition obtained by means of localisation is of the same nature as the one related to the usual concept of BEC. In this thesis, we consider two classes of localised systems. The first one is a family of random systems, where the Bose gas is contained in a disordered medium, which is modelled by a random external potential. Our second model consists of weak (scaled) external potentials. We first recall necessary conditions on these external potentials to enhance condensation in the localised states. We then show under very general assumptions that in these models, BEC in the usual sense occurs also, in a generalised sense. This means that the particles condense on kinetic eigenstates with arbitrary small energy. For the non-interacting Bose gas, we can moreover show that the densities of both condensates are actually equal. Next, we investigate BEC on a finer scale, asking whether one can obtain condensation in a single kinetic eigenstate. We show that in spite of the existence of a phase transition, and the occurence of generalised BEC, no condensation exists in any single kinetic eigenstate. In particular, the so-called "ground-state condensation" does not occur in these localised systems. Finally, we establish a possible generalisation of the Bogoliubov c-number approximation to take into account the very specific properties of BEC in the presence of localisation, and discuss how to interpret the result of the corresponding variational problem.
Nous étudions la transition de phase survenant dans le gaz de Bose pour des systèmes sans invariance par translation. Bien qu'il soit prouvé depuis les années 60 que la condensation de Bose Einstein (CBE) est absente des systèmes invariants par translation en dimension 1 ou 2, on peut néanmoins déclencher cette transition de phase dans des gaz de Bose en faible dimension en ajoutant un potentiel externe approprié (et par conséquent, en perdant l'invariance par translation). Cependant, le condensat ainsi obtenu se trouve dans des états localisés, alors que la CBE est généralement comprise comme l'occupation macroscopique d'états cinétiques étendus. Il n'est pas à priori évident que cette transition de phase obtenue grace à la localisation est de la même nature que celle reliée au concept habituel de CBE. Dans cette thèse, nous considérons deux classes de systèmes localisés. La première est une famille de modèles aléatoires, pour lesquels le gaz de Bose est contenu dans un milieu désordonné, ce que nous modélisons par un potentiel externe aléatoire. La deuxième est constituée de modèles incluant un potentiel externe faible (d'échelle). Nous commençons par un rappel des conditions nécessaires sur ces potentiels pour obtenir une condensation dans les états localisés. Nous montrons sous certaines hypothèses très générales que dans ces modèles, la CBE au sens habituel est aussi présente, dans un sens généralisé. Cela signifie que les particules sont condensées dans des états cinétiques ayant une énergie arbitrairement faible. Pour le gaz de Bose sans interactions, nous pouvons en plus prouver que les densités des deux condensats sont en fait égales. Nous approfondissons ensuite notre étude de la CBE, en demandant si il est possible d'obtenir une condensation sur un seul état cinétique. Nous montrons qu'en dépit de l'existence à la fois d'une transition de phase et de la CBE généralisée, aucune condensation ne survient sur un seul état cinétique. En particulier, la fameuse condensation sur l'état fondamental est absente pour ces modèles localisés. Finalement, nous établissons une généralisation possible de l'approximation de nombres complexes de Bogoliubov pour prendre en compte les propriétés très particulières de la CBE en présence de localisation, et nous discutons la faon d'interpréter le resultat du problème variationnel correspondant.
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Dates et versions

tel-00539041 , version 1 (23-11-2010)

Identifiants

  • HAL Id : tel-00539041 , version 1

Citer

Thomas Jaeck. The nature of Bose-Einstein condensation enhanced by localisation. Mathematical Physics [math-ph]. Université de la Méditerranée - Aix-Marseille II, 2010. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00539041⟩
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