Onsager's approach in integrable systems
Approche à la Onsager en systèmes intégrables
Résumé
A new non-perturbative approach 'à la Onsager' for quantum integrable systems on the lattice is developed, which main ideas take their roots in the original article of L. Onsager (1944) on the exact solution of the two-dimensional Ising model. The interest of this approach relies on the fact that it can be systematically applied in cases for which other standard methods fail. It is based on the study of four essential elements: (i) The identification of the non-Abelian algebra generalizing the Onsager algebra that ensures the integrability of the model; (ii) The construction of a hierarchy of quantities in involution generating a Abelian subalgebra; (iii) The study of realizations and finite or infinite dimensional representations of this algebra; (iv) The solution of the model using these data. For a basic model such as the finite size XXZ open spin chain with integrable boundary conditions, the new approach based on the q-Onsager algebra introduced by P. Terwilliger is used to solve the spectral problem (energy spectrum and eigenstates) in the regime of parameters where the Bethe ansatz approach doesn't apply. Some essential steps paving the way to correlation functions in the thermodynamic limit of the model are also passed, inspired by the method of M. Jimbo {\it et al.}. To each affine Lie algebra, a generalization of the q-Onsager algebra is proposed, and allows to classify all possible integrable boundary conditions in boundary affine Toda field theories. Various perspectives are finally presented.
Une nouvelle approche non-perturbative à la Onsager en systèmes intégrables quantiques est développée, dont les idées maîtresses prennent leurs racines dans l'article de L. Onsager (1944) portant sur la solution exacte du modèle d'Ising en deux dimensions. L'intérêt de cette approche repose sur le fait qu'elle est applicable de façon systématique dans le cas oú d'autres méthodes usuelles échouent. Celle-ci repose sur l'étude de quatres éléments capitaux: (i) L'identification de l'algèbre non-Abélienne de dimension infinie généralisant l'algèbre de Onsager et représentant la condition d'intégrabilité du modèle; (ii) La construction d'une hiérarchie de quantités en involution formant une sous-algèbre Abélienne; (iii) L'étude des réalisations et représentations de dimension finie et infinie de cette algèbre; (iv) La résolution du modèle à l'aide de ces données. Pour un modèle de référence - la chaîne de spin XXZ de taille finie avec conditions aux bords intégrables - la nouvelle approche basée sur l'algèbre q-Onsager introduite par P. Terwilliger est utilisée pour résoudre le problème spectral (spectre en énergie et états propres) dans le régime de paramètres génériques où l'ansatz de Bethe est inapplicable. Certaines étapes essentielles à l'obtention des fonctions de corrélations dans la limite thermodynamique du modèle sont aussi franchies, s'inspirant de la méthode de M. Jimbo et al.. La généralisation associée à toute algèbre de Lie affine de l'algèbre q-Onsager est proposée, et permet de classifier toutes les conditions d'intégrabilité dans les théories de Toda affines avec bord. Diverses perspectives sont enfin présentées.
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