Mahlerian recurrences, automatic sequences, asymptotic studies
Récurrences mahlériennes, suites automatiques, études asymptotiques
Résumé
The purpose of this thesis is to study a class of power series, which we call Mahlerian, solutions to certain functional equations. These series arise in combinatorial theory, for problems involving counting words, and in the analysis of algorithms, where they are related to divide and conquer recurrences. Methods of solution of Mahlerian equations are based on the properties of rational functions with respect to the fundamental operation, analogue of the derivative for differential equations, and on the arithmetic of operators implicit in these equations. The methods we describe furnish efficient procedures for calculation, qualitative results concerning the closure of this class, and, in the complex case, analytic properties of the solutions. An important subclass of Mahlerian series is provided by B-regular series, a generalization of B-automatic series. They are the translation, via base B arithmetic, of rational series in non- commutative variables, inheriting their properties, familiar in the theory of formal languages. One can define, for example, notions of linear representation, of rank, and of Hankel matrix. Under certain simple conditions, a Mahlerian series is B-regular; in particular most divide and conquer recurrences provide B-regular series. The asymptotic analysis of coefficients of complex Mahlerian series relies on a classification which reveals the significance of B-regular series, on methods from linear algebra, and on methods from the analytic theory of numbers. The results here obtained permit us to handle a number of frequently encountered practical examples. They show, for B-regular series, a connection between the asymptotic behavior of coefficients and the spectra of linear representations. In many cases we exhibit a phenomenon of logarithmic periodicity.
L'objet de cette thèse est l'étude d'une classe de séries entières solutions de certaines équations fonctionnelles, dites mahlériennes. Ces séries interviennent en combinatoire avec des problèmes de comptage de mots et en analyse d'algorithmes où elles sont liées aux récurrences diviser pour régner. La résolution des équations mahlériennes est fondée sur les propriétés des fractions rationnelles vis à vis de l'opérateur fondamental, analogue de la dérivation pour les équations différentielles, et sur l'arithmétique des opérateurs sous-jacents à ces équations. Les méthodes décrites fournissent à la fois des procédés effectifs de calcul et des résultats qualitatifs sur les propriétés de clôture de cette classe et, dans le cas complexe, sur les propriétés analytiques des solutions. Une sous-classe importante de séries mahlériennes est fournie par les séries B-régulières, généralisation des séries B-automatiques. Elles sont la traduction, via la numération en base B, des séries rationnelles en indéterminées non commutatives de la théorie des langages formels et héritent de leurs propriétés. On peut par exemple définir les notions de représentation linéaire, de rang et de matrice de Hankel. Sous certaines conditions simples, une série mahlérienne est B-régulière ; en particulier la plupart des récurrences diviser pour régner fournissent des séries B-régulières. L'analyse asymptotique des coefficients des séries mahlériennes complexes sàppuie sur une classification qui met en valeur l'importance des séries B-régulières, sur des techniques d'algèbre linéaire et sur des méthodes de théorie analytique des nombres. Les résultats obtenus permettent de traiter les exemples rencontrés dans la pratique. Ils montrent pour les séries B-régulières un lien entre le comportement asymptotique des coefficients et le spectre des représentations linéaires et dans beaucoup de cas un phénomène de périodicité en échelle logarithmique.
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