Classical problems in computer vision and computational geometry revisited with line geometry
Problèmes classiques en vision par ordinateur et en géométrie algorithmique revisités via la géométrie des droites
Résumé
Systematize is the leitmotiv of the results in this thesis. Three problems are studied in the field of computer vision and computational geometry. In the first one, we extend all the machinery of the pinhole model for classical cameras to a whole set of cameras (two-slit, pushbroom, oblique, pencil), which were separately studied with different approaches. In the second one, we generalize to convex bodies in $\R^3$ the work on pinning lines by lines or balls, which had so far been tackled by techniques intimately linked to the geometry of the objects. In the third one, we attempt to work out a systematic approach in place of problem-specific methods in order to build polynomial evaluation trees for geometric predicates. Such goals could not be reached without a mathematical investigation in the study of linear line congruences, differential properties of sets of tangent lines to a convex and classical invariant theory respectively. These tools or their uses are mostly based on line geometry in $\p^3(\R)$. This geometry was designed in the second half of the 19th century but its full power has not yet been used by the computational geometry community. This thesis therefore also serves as an extended tutorial.
Systématiser: tel est le leitmotiv des résultats de cette thèse portant sur trois domaines d'étude en vision et en géométrie algorithmique. Dans le premier, nous étendons toute la machinerie du modèle sténopé des appareils photos classiques à un ensemble d'appareils photo (deux fentes, à balayage, oblique, une fente) jusqu'à présent étudiés séparément suivant différentes approches. Dans le deuxième, nous généralisons avec peu d'effort aux convexes de $\R^3$ l'étude des épinglages de droites ou de boules, menée différemment selon la nature des objets considérés. Dans le troisième, nous tentons de dégager une approche systématique pour élaborer des stratégies d'évaluation polynomiale de prédicats géométriques, les méthodes actuelles étant bien souvent spécifiques à chaque prédicat étudié. De tels objectifs ne peuvent être atteints sans un certain investissement mathématique dans l'étude des congruences linéaires de droites, des propriétés différentielles des ensembles de tangentes à des convexes et de la théorie des invariants algébriques, respectivement. Ces outils ou leurs utilisations reposent sur la géométrie des droites de $\p^3(\R)$, construite dans la seconde moitié du XIX\ieme{} siècle mais pas complètement assimilée en géométrie algorithmique et dont nous proposons une synthèse adaptée aux besoins de la communauté.