Modelling, mathematical analysis and numerical simulations of some multiscale partial differential equations
Modélisation, analyse mathématique et simulations numériques de quelques problèmes aux dérivées partielles multi-échelles
Résumé
This work is concerned with different aspects of multiscale partial differential equations. For three distinct problems, we address questions of modelling and discretization thanks to the observation of the multiplicity of scales, time or space. So we propose in the first part a model of approximation of a fluid with a free surface, say an ocean. The derivation of our multilayer shallow water type model is based on an analysis of the different space scales generally observed in geophysical flows, in particular the so-called shallow water assumption. We obtain an existence and uniqueness result of local in time solution. Next we propose a finite volume scheme and numerical simulations. In the second part, we study a hyperbolic relaxation problem, initially motivated by the kinetic theory of gaz. Different time scales appear through the competition between a transport phenomenon and a relaxation one, to a local equilibrium. Adopting an Asymptotic Preserving strategy of discretization, we build and analyze a numerical scheme. The convergence is proved for any value of the relaxation parameter, as well as the consistency with the equilibrium problem, thanks to error estimates. Then we present some numerical simulations. The last part deals with a blood flow model in a stented artery. We consider a Stokes problem stated in a multiscale space domain, that is a macroscopic box (the artery) containing a microscopic roughness (the stent). In order to avoid expensive simulations when discretizing the whole rough domain, we perform a Chapman-Enskog type development of the solution and derive an implicit wall law on the boundary of the smooth domain. Error estimates are shown and numerical illustrations of the results are presented.
Nous étudions plusieurs aspects d'équations aux dérivées partielles multi-échelles. Pour trois exemples distincts, la présence de multiples échelles, spatiales ou temporelles, motive un travail de modélisation mathématique ou constitue un enjeu de discrétisation. La première partie est consacrée à la construction et l'étude d'un système multicouche de type Saint-Venant pour décrire un fluide à surface libre (océan). Son obtention s'appuie sur une analyse des échelles spatiales mises en jeu, en particulier sur l'hypothèse dite eau peu profonde, classiquement utilisée dans le cas des fluides géophysiques. Nous justifions donc nos équations, et montrons un résultat d'existence locale de solution. Puis nous proposons un schéma volumes finis et des simulations numériques. Dans la deuxième partie, nous étudions un problème hyperbolique de relaxation, inspiré de la théorie cinétique des gaz. La différence entre l'échelle temporelle du mécanisme de transport et celui de la relaxation constitue un enjeu numérique crucial. Nous construisons un schéma numérique via une stratégie préservant l'asymptotique : nous montrons sa convergence pour toute valeur du paramètre de relaxation, ainsi que sa consistance avec le problème à l'équilibre local. Des estimations d'erreurs sont établies et des simulations numériques sont présentées. La dernière partie traite d'un problème d'écoulement sanguin dans une artère avec stent, modélisé par un système de Stokes dans un domaine contenant une petite rugosité périodique, i.e. une géométrie double échelle. Pour éviter une discrétisation coûteuse du domaine rugueux (l'artère stentée), nous formulons un ansatz de développement de la solution type Chapman-Enskog, et obtenons une loi de paroi implicite sur le bord du domaine lisse (artère seule). Nous montrons alors des estimations d'erreurs et des simulations numériques.